[論文レビュー] Distributionally robust inventory control when demand is a martingale

Linwei Xin, David A. Goldberg|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Energy, Environment, and Transportation Policies参考文献 128被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、平均とサポートが既知のマーティンググール・ドメインに従って変化する需要を想定した、時間に整合的で分布的にロバストなマルチステージ新聞売りモデルを定式化する。最小最大最適政策と最悪ケース分布を閉形式で導出し、最悪ケースがランダムな在庫の陳腐化に対応することを示し、時間枠が拡大する際の弱収束を確立する。

ABSTRACT

Demand forecasting plays an important role in many inventory control problems. To mitigate the potential harms of model misspecification, various forms of distributionally robust optimization have been applied. Although many of these methodologies suffer from the problem of time-inconsistency, the work of Klabjan et al. established a general time-consistent framework for such problems by connecting to the literature on robust Markov decision processes. Motivated by the fact that many forecasting models exhibit special structure, as well as a desire to understand the impact of positing different dependency structures, in this paper we formulate and solve a time-consistent distributionally robust multi-stage newsvendor model which naturally unifies and robustifies several inventory models with forecasting. In particular, many simple models of demand forecasting have the feature that demand evolves as a martingale. We consider a robust variant of such models, in which the sequence of future demands may be any martingale with given mean and support. Under such a model, past realizations of demand are naturally incorporated into the structure of the uncertainty set going forwards. We explicitly compute the minimax optimal policy (and worst-case distribution) in closed form, by combining ideas from convexity, probability, and dynamic programming. We prove that at optimality the worst-case demand distribution corresponds to the setting in which inventory may become obsolete, a scenario of practical interest. To gain further insight, we prove weak convergence (as the time horizon grows large) to a simple and intuitive process. We also compare to the analogous setting in which demand is independent across periods (analyzed previously by Shapiro), and identify interesting differences between these models, in the spirit of the price of correlations studied by Agrawal et al.

研究の動機と目的

• 相関する需要下での在庫管理におけるモデル不適合を扱うために、時間に整合的なロバストフレームワークを構築すること。
• 需要がマーティングル過程に従うと仮定する既存の在庫モデルを統合・ロバスト化すること。
• 将来の意思決定の不確実性集合に過去の需要実現値を組み込むこと。
• 最小最大最適政策と最悪ケースの需要分布を閉形式で特徴付けること。
• ロバストマーティングルモデルと独立需要ケースを比較し、相関の価格を分析すること。

提案手法

• 将来の需要系列が与えられた平均とサポートを持つマーティングル過程に制約される分布的にロバストなマルチステージ新聞売り問題を定式化する。
• 動的計画法と凸解析を用いて、最小最大最適政策を再帰的に導出する。
• 確率論と最適化を組み合わせた非自明な帰納的議論を用いて、ロバストな動的計画法を解く。
• 最悪ケースの分布が在庫が時間の経過とともにランダムに陳腐化する状況に対応することを同定する。
• 時間枠が無限大に近づく際、極限的なダイナミクスが単純な確率過程に弱収束することを証明する。
• シャピロ（2011）が分析した独立需要ケースと比較し、構造的差異を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーティングル需要を想定するマルチステージ在庫問題に、分布的にロバストな最適化を時間に整合的に行う方法は何か？
• RQ2 需要が有界なサポートを持つマーティングル過程である場合、最小最大最適政策と最悪ケース分布の構造はどのようになるか？
• RQ3 マーティングル仮定下での最悪ケース分布は、独立需要下のものとどのように異なるか？
• RQ4 時間枠が非常に大きくなる際、最適政策の極限的挙動はいかなるものか？
• RQ5 需要の相関がロバスト在庫管理に与える影響は何か。また、独立ケースと比較してどのような差異が生じるか？

主な発見

• 動的計画法と凸解析を用いて、最小最大最適政策と最悪ケース分布を閉形式で導出した。
• 最適解において、最悪ケースの需要プロセスは在庫がランダムな時点で陳腐化する状況に対応しており、実務的意義がある。
• 時間枠が非常に大きくなると、最適政策のダイナミクスは、単純かつ直感的な閉形式表現を持つ極限過程に弱収束する。
• ロバストマーティングルモデルは、独立需要ケースとは著しく異なる最適政策とコストをもたらし、相関の価格が非自明であることを示している。
• 本モデルは自然に過去の需要実現値を不確実性集合に組み込み、時間に整合的かつより高いロバスト性を実現する。
• 数値実験により、提案モデルがモデル不適合の影響を軽減する利点を確認した。