[論文レビュー] Divergence and quasimorphisms of right-angled Artin groups

Jason Behrstock, Ruth Charney|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、右回転アーリン群（RAAG）における測地線の発散を「ジョイン長」と呼ばれる群論的不変量を用いて特徴づけ、定義グラフがジョインでない場合にのみ二次（超線形）発散が発生することを証明している。非ジョインRAAGは非自明な擬準同型の無限次元空間を有することを示し、これにより、非可約な高ランク格子がRAAGへ写像する場合、群がジョインでない限り自明であるという超剛性定理が得られる。

ABSTRACT

We give a group theoretic characterization of geodesics with superlinear divergence in the Cayley graph of a right-angled Artin group A(G) with connected defining graph G. We use this to determine when two points in an asymptotic cone of A(G) are separated by a cut-point. As an application, we show that if G does not decompose as the join of two subgraphs, then A(G) has an infinite-dimensional space of non-trivial quasimorphisms. By the work of Burger and Monod, this leads to a superrigidity theorem for homomorphisms from lattices into right-angled Artin groups.

研究の動機と目的

• 右回転アーリン群（RAAG）における測地線の発散を、『ジョイン長』と呼ばれる群論的不変量を用いて特徴づけること。
• RAAGの漸近的コーンにおける点がカット点によって分離される条件を特定し、発散と大規模幾何学的性質を結びつけること。
• 非ジョインRAAGが非自明な擬準同型の無限次元空間を有することを確立し、超剛性結果を得ること。
• 非可約な高ランク格子がRAAGへ写像する場合、群がジョインでない限り自明であることを証明すること。
• カット点による分離を用いて、RAAGの漸近的コーンにおけるパーツの構造を分類すること。

提案手法

• 著者たちは、Salvetti複体の普遍被覆であるCAT(0)立方複体$X_\Gamma$へのRAAGの作用を用い、測地線に沿ったウォールの交差を分析する。
• 彼らは『ジョイン長』を定義し、測地線がジョイン部分群の陪集合を何回交差するかとして定義し、これが発散行動を制御することを示す。
• 彼らは、ランク1の等長変換をもつCAT(0)空間へのBestvina–Fujiwaraの擬準同型理論を適用し、無限次元の擬準同型空間の存在を示す。
• 定義グラフ$\Gamma$の頂点数に関する帰納法を用いて、格子の超剛性を証明する。
• Druţu–Mozes–Sapirの特徴付け（超線形発散は漸近的コーンにおけるカット点と同値）を応用する。
• 代数的トウネス（BDM）と発散分類の結果を統合し、非ジョインRAAGが正確に二次発散を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RAAGにおける測地線が超線形発散を示すのはいつか？ そして、この性質を決定づける群論的性質は何か？
• RQ2 RAAGの漸近的コーンにおける2点がカット点によって分離される条件は何か？
• RQ3 定義グラフ$\Gamma$のジョイン構造と$A_\Gamma$の発散関数の間の正確な関係は何か？
• RQ4 どのようなRAAGが非自明な擬準同型の無限次元空間を有するか？
• RQ5 高ランク格子からRAAGへの準同型写像に対して、どのような超剛性性質が生じるか？

主な発見

• 連結な$\Gamma$に対して、$A_\Gamma$内の双無限測地線が線形発散を示すのは、そのジョイン長が有限である場合に限る。
• RAAGの漸近的コーンにおける2点がいかなるカット点によっても分離されないのは、それらの間に有限ジョイン長をもつ近傍点が存在する場合に限る。
• $\Gamma$がジョインでないならば、$A_\Gamma$は非自明な擬準同型の無限次元空間を有する。
• $\Gamma$がジョインであるとき、$A_\Gamma$の発散は線形であり、そうでない場合は正確に二次である。
• 非可約な高ランク格子は、群がジョインでない限り、任意のRAAGへ自明に写像される。これは、このような格子に非自明な擬準同型が存在しないことによる。
• RAAGが代数的トウネス0であるのは、$\Gamma$がジョインである場合に限る。そうでない場合は、正確にトウネス1である。