[論文レビュー] On power subgroups of mapping class groups

Louis Funar|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、可定向な曲面の写像類群のべき部分群とべき商群を調査する。D ≥ 2 に対して、単純閉曲線の疎な集合に対して、デーン回転のD乗によって生成される部分群は、右角度アーベル群であることを証明する。さらに、4g+2 が D を割り切らない場合（g ≥ 3）、べき商群 M_g[D] は自明であるが、無限個の D に対して非自明であり、特に genus 2 では無限のねじれ商群が明示的に構成可能である。

ABSTRACT

In the first part of this paper we prove that the mapping class subgroups generated by the $D$-th powers of Dehn twists (with $D\geq 2$) along a sparse collection of simple closed curves on an orientable surface are right angled Artin groups. The second part is devoted to power quotients, i.e. quotients by the normal subgroup generated by the $D$-th powers of all elements of the mapping class groups. We show first that for infinitely many $D$ the power quotient groups are non-trivial. On the other hand, if $4g+2$ does not divide $D$ then the associated power quotient of the mapping class group of the genus $g\geq 3$ closed surface is trivial. Eventually, an elementary argument shows that in genus 2 there are infinitely many power quotients which are infinite torsion groups.

研究の動機と目的

• 写像類群におけるデーン回転のD乗によって生成される部分群の代数的構造を理解すること。
• すべての元のD乗によって生成される正規部分群による写像類群の商が自明または非自明である条件を特定すること。
• 特に低 genus におけるそのようなべき商群の有限性およびねじれ性質を調査すること。
• 曲線の交差グラフを通じて、べき部分群と右角度アーベル群との関係を明らかにすること。
• 特に量子トポロジーと群論的技法を用いて、べき商群が無限大である条件を確立すること。

提案手法

• 疎な単純閉曲線の集合の交差グラフを用いて、D乗のデーン回転によって生成されるべき部分群に右角度アーベル群の構造を定義する。
• D が十分に大きい場合に自由バーンサイド群が無限大であるというアディアン、ノヴィコフ、リセノクの深い結果を応用し、無限大のべき商群を構成する。
• 穴あき球面の写像類群から自由群 F_2 への上への写像を用い、高 genus の写像類群に無限大性の結果を拡張する。
• M_g におけるハイペリエリプティック対合の中心化群が M_0^{6} に上への写像をもつことを利用して、M_0^{6} からの無限大性の結果を M_g に移す。
• 有限指数部分群が無限大 D 乗商を持つならば、より大きな D' に対して上群も無限大 D' 乗商を持つことを示す群論的補題を用いる。
• M_2 が Z/2Z の拡大として M_0^6 に上への写像をもつことを利用して、genus 2 への無限大性の結果を移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus g の曲面に対して、すべてのデーン回転のD乗によって生成される部分群 M_g[D] が自明または非自明であるのはいつか？
• RQ2 特に 4g+2 が D を割り切るかどうかの関係において、商 M_g / M_g[D] が自明である条件は何か？
• RQ3 べき商群 M_g[D] は無限大になり得るか？ もしそうなら、どのような D と genus g に対してか？
• RQ4 疎な曲線集合に沿ったデーン回転のD乗によって生成される部分群が右角度アーベル群と同型になるか？
• RQ5 特に genus 2 において、M_g[D] のべき商群は無限大ねじれ群を形成するか？

主な発見

• D ≥ 2 および単純閉曲線の疎な集合に対して、デーン回転のD乗によって生成される部分群 M(S)(A;D) は右角度アーベル群に同型である。
• g ≥ 3 に対して、4g+2 が D を割り切らない場合、べき商群 M_g[D] は自明である。
• 無限個の D に対して、べき商群 M_g[D] は非自明であり、特に genus 2 では無限大である。
• genus 2 では、無限個の D に対して、べき商群 M_2[D] が無限大ねじれ群であることが存在する。
• n ≥ 4 および D ≥ 8000 に対して、Q(M_0^n)[n(n-1)(n-2)(n-3)D] は F_2 への上への写像により無限大である。
• 十分に大きな D に対して、M_g におけるハイペリエリプティック対合の中心化群は無限大べき商を持つ。これは M_g に対しても同様の結果を示唆する。