[論文レビュー] Dividend and Capital Injection Optimization with Transaction Cost for Spectrally Negative Lévy Risk Processes

Wenyuan Wang, Yuebao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Probability and Risk Models参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、取引コストが配当および自己資本増強にかかる、スペクトラルに負のLévy過程でモデル化された保険会社の最適インパルス配当および自己資本増強（IDCI）戦略を研究する。期待される純割引配当値から増強コストを差し引いた値を最大化する最適$(z_1, z_2)$戦略を導出し、最適戦略がスケール関数を用いて明示的に特徴付けられ、最適性条件の検証がなされていることを示している。

ABSTRACT

For an insurance company with reserve modeled by the spectrally negative Lévy process, we study the optimal impulse dividend maximizing the expected accumulated net dividend payment subtracted by the accumulated cost of injecting capital. In this setting, the beneficiary of the dividends injects capital to ensure a non-negative risk process so that the insurer never goes bankrupt. The optimal impulse dividend and capital injection strategy together with its value function are obtained.

研究の動機と目的

• 古典的配当最適化の実務的限界を是正するため、配当および自己資本増強の両方に取引コストを組み込むこと。
• 破産を防ぎ、正の自己資本を維持する自己資本増強のモデル化を通じて、長期的な健全性を確保すること。
• 配当の期待される割引純値から増強コストを差し引いた値を最大化する最適インパルス制御戦略を導出すること。
• 既存のインパルス制御に関する結果を一般化し、両方の取引コストを伴うスペクトラルに負のLévy過程に拡張すること。
• 保険会社が長期的な利益分配および自己資本管理方針を設計するための数値的に取り扱いやすい枠組みを提供すること。

提案手法

• 配当および自己資本増強の両方に固定取引コストがかかるスペクトラルに負のLévyリスク過程におけるIDCI問題を、確率的制御問題として定式化する。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）不等式フレームワークを用いて、価値関数および候補最適戦略を特徴付ける。
• スケール関数$W^{(q)}$および$Z^{(q)}$を用いて、候補戦略における価値関数を閉形式で表現する。
• 候補価値関数がHJB不等式および制御境界におけるスムーズ・ペースティング条件を満たすことを示すことにより、最適性を検証する。
• スケール関数およびモデルパラメータに依存する目的関数$\xi(z_1, z_2)$を最大化することで、最適$(z_1, z_2)$戦略を導出する。
• パラメータ$\mu=1$, $\sigma=0.36$, $q=0.05$, $\phi=1.05$でキャリブレーションされたブラウン運動の例を用いて、最適戦略の数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトラルに負のLévyリスク過程において、配当および自己資本増強の両方に取引コストがかかる状況下で、最適インパルス配当および自己資本増強戦略は何か？
• RQ2 配当および自己資本増強の取引コストが、最適配当および増強水準にどのように影響を与えるか？
• RQ3 最適戦略の構造は何か？また、どのような条件下で$(z_1, z_2)$型インパルス制御が最適となるか？
• RQ4 取引コスト$c$および自己資本増強コスト$\phi$の変化が、最適しきい値$z_1$および$z_2$に与える影響は何か？
• RQ5 価値関数はスケール関数を用いて明示的に特徴付けられるか？また、候補戦略は最適であると検証できるか？

主な発見

• 最適IDCI戦略は、自己資本が$z_2$に達した際に配当を支払い、自己資本を$z_1$に引き下げる$(z_1, z_2)$型インパルス制御である。
• 取引コスト$c=0.1$, $\phi=1.05$, $\mu=1$, $\sigma=0.36$, $q=0.05$の下で、最適しきい値は$(z_1, z_2) = (0.02682, 2.12950)$であり、目的関数$\xi$を最大化する。
• 取引コスト$c$が増加するにつれ、$z_1$はゆっくり減少し、$z_2$は増加する。その結果、取引頻度を減らすために一括配当および純配当額が増加する。
• 自己資本増強コスト$\phi$が増加すると、$z_1$および$z_2$は安定的に上昇するが、純配当額$z_2 - z_1 - c$はほぼ一定のままである。これは、増強コストに対するヘッジ効果を示している。
• 価値関数$V^{z_2}_{z_1}(x)$は、$x \leq z_2$では指数関数的組み合わせ、$x > z_2$では線形で定義され、$x = z_2$で連続的かつ滑らかである。
• 数値的検証により、$x \geq z_2$に対して$G(x) \geq 0$が成り立つことが確認され、最適性定理における必要な条件を満たしている。