[論文レビュー] Do Black Holes Exist in a Finite Universe Having the Topology of a Flat 3-Torus?

Frank Steiner|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、AppellおよびEpsteinゼータ関数を用いて発散する像法を正則化することで、静的かつ非回転星のアインシュタイン方程式の1次解を導出し、有限で平坦な3次トーラス宇宙におけるブラックホールの存在可能性を提唱する。この解はトポロジカルなダークエネルギー項 Λ_top > 0 を示し、反発的力と異方性重力場を生じさせ、Birkhoffの定理に反する。これにより、質量、体積、および5つのTeichmüllerパラメータを有する「毛布付き」ブラックホールの存在が示唆される。

ABSTRACT

Based on perturbation theory, we present the exact first-order solution to the Einstein equations for the exterior static gravitational field of an isolated non-rotating star in a spatially finite universe having the topology of a flat 3-torus. Since the method of images leads to a divergent Poincare' series, one needs a regularization which we achieve by using the Appell respectively the Epstein zeta function. The solution depends on a new positive constant which is completely fixed by the mass of the star and the spatial volume of the universe. The physical interpretation is that a stable or metastable equilibrium requires a topological dark energy which fills the whole universe with positive energy density and negative pressure. The properties of the gravitational field are discussed in detail. In particular, its anisotropy is made explicit by deriving an exact multipole expansion which shows that in this case Birkhoff's theorem does not hold. While the monopole describes the Newtonian potential, there is no dipole but always a non-vanishing quadrupole which leads to a repulsive force experienced by a planet at rest. Finally, we put forward the conjecture that black holes exist in a toroidal universe and that their gravitational field is in the weak-field limit well approximated by the first-order field.

研究の動機と目的

• 無限に広がった平坦空間という標準的仮定に反し、平坦な3次トーラスのトポロジーを持つ空間的に有限な宇宙にブラックホールが存在しうるかを調査すること。
• コンパクトな宇宙における像法の発散問題を、AppellおよびEpsteinゼータ関数を用いた正則化によって解決すること。
• このようなトポロジーにおける非回転星の1次外部重力場を導出し、その物理的意味を明らかにすること。
• トーラス宇宙においてBirkhoffの定理が成立するかを検討し、トポロジカルな「髪」を有するブラックホールの可能性を調査すること。
• グローバルトポロジーに起因する測定可能な異方性重力効果を伴う、トポロジカルなダークエネルギーのメカニズムを提唱すること。

提案手法

• 一般相対性理論における1次摂動論を用いて、有限で平坦な3次トーラス宇宙における星のアインシュタイン場方程式を解く。
• 重力ポテンシャルをモデル化するために像法を適用するが、発散するPoincaré級数をAppellおよびEpsteinのゼータ関数を用いて正則化する。
• R_μν = -Λ_top g_μν を満たす計量解を導出し、ここで Λ_top は質量 M と空間体積 |Ω| によって決定される正の定数である。
• 重力ポテンシャルの多重極展開を行い、モノポール項が存在する一方で、ダイポール項は消え、非ゼロの quadrupole 項が存在することを明らかにする。
• 異方性成分を分離するために、トレースレスな quadrupole トランスポジション D̂_kl を定義し、その力への寄与を分析する。
• トーラス宇宙における完全なブラックホール解は、特に遠方領域において、この弱場解によってよく近似可能であると仮説を立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで平坦な3次トーラス宇宙において、像法は有限な重力ポテンシャルを生じるのか、それとも発散するのか？
• RQ2 空間的に有限でトポロジカルに非自明な宇宙における星に対して、一貫性のある1次アインシュタイン方程式の解を導出できるか？
• RQ3 この解が、トポロジカルな異方性によってBirkhoffの定理に反する重力場を生じるか？
• RQ4 この文脈における有効な一般相対論的定数 Λ_top の物理的起源と性質は何か？
• RQ5 トーラス宇宙におけるブラックホールが、質量以外にトポロジーに起因する追加のパラメータ（「髪」）を有する可能性はあるか？

主な発見

• 重力場解は R_μν = -Λ_top g_μν を満たし、Λ_top > 0 であるため、トポロジカルなダークエネルギー密度 ε_top ∼ Λ_top と負の圧力 p_top = -ε_top を示す。
• モノポール項はニュートンポテンシャルに対応するが、最初に非ゼロとなる多重極項は quadrupole 場 Φ_Q(x) = - (Λ_top c² / 6) r² - GM ∑_{k,ℓ} D̂_kℓ x_k x_ℓ である。
• 星の質量に依存せず、常に Λ_top に起因する反発的中心力 ∼ (Λ_top c² / 3) r が存在する。
• トレースレステンソル D̂_kℓ に起因する異方性力は一般に非ゼロであり、トーラスの形状に依存し、立方体トーラスのような対称的な場合にのみ消える。
• 解はグローバル回転対称性を明示的に破り、3次トーラス宇宙ではBirkhoffの定理が成立しないことを示している。
• 著者らは、このような宇宙におけるブラックホールが「髪」を有するものであり、質量 M、空間体積 |Ω|、および5つのTeichmüllerパラメータによって特徴づけられるとの仮説を立てる。これはシュバルツシルトブラックホールとは根本的に異なる。