[論文レビュー] Domain Decomposition with local impedance conditions for the Helmholtz equation

Ivan G. Graham, Euan A. Spence+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、重複部分領域上での局所的インピーダンス条件とパーティション・オブ・ユニティを用いた補間を組み合わせた、ヘルムホルツ方程式に対する1段階の加法的 Schwarz予条件子を提案する。この手法は、波数kが増加するに従ってk-ロバストなGMRES収束を達成し、エネルギー内積における予条件子行列のノルムと固有値の分布に関する理論的境界によって裏付けられる。

ABSTRACT

We consider one-level additive Schwarz preconditioners for the equation (with increasing wavenumber $k$), discretized using fixed-order nodal conforming finite elements on a family of simplicial fine meshes with diameter $h$, chosen to maintain accuracy as $k$ increases. The preconditioners combine independent local solves (with impedance boundary conditions) on overlapping subdomains of diameter $H$ and overlap $\delta$, and prolongation/restriction operators defined using a partition of unity, this formulation was previously proposed in [J.H. Kimn and M. Sarkis, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 196, 1507-1514, 2007]. In numerical experiments (with $\delta \sim H$) we observe robust (i.e. $k-$independent) GMRES convergence as $k$ increases, both with $H$ fixed, and with $H$ decreasing moderately as $k$ increases. This provides a highly-parallel, $k-$robust one-level domain-decomposition method. We provide supporting theory for this observation by studying the preconditioner applied to a range of absorptive problems, $k^2\mapsto k^2+ \mathrm{i} \varepsilon$, with absorption parameter $\varepsilon$, including the Helmholtz case ($\varepsilon = 0$). Working in the energy inner product, we prove a robust upper bound on the norm of the preconditioned matrix, valid for all $\varepsilon, \delta$. Under additional conditions on $\varepsilon$ and $\delta$, we also prove a strictly-positive lower bound on the distance of the field of values of the preconditioned matrix from the origin. Using these results, combined with previous results of [M.J. Gander, I.G. Graham and E.A. Spence, Numer. Math. 131(3), 567-614, 2015] we obtain theoretical support for the observed robustness of the preconditioner for the pure problem with increasing wavenumber $k$.

研究の動機と目的

• 波数kが増加する際も収束性を維持するドメイン分解予条件子の開発を目的とする。
• 複素数シフトεを用いた吸収的定式化を用いて、高周波数領域における予条件子の挙動を分析すること。
• 数値実験で観察されたk-ロバスト性を、予条件子行列の境界によって理論的裏付けを提供すること。
• 予条件子行列が良好に条件付けられ、固有値の分布が原点から正の距離を保つような条件を確立すること。

提案手法

• 直径H、重なりδの重複部分領域を用い、各部分領域でインピーダンス境界条件を用いた局所的解法を実施する。
• 一貫性と安定性を確保するため、パーティション・オブ・ユニティを用いて補間演算子と制限演算子を構築する。
• k² → k² + iε の形をとる吸収的ヘルムホルツ問題の族に対して、エネルギー内積における予条件子の分析を実施する。
• すべてのε > 0およびδ > 0に対して、予条件子行列のノルムに関する理論的境界を導出する。
• 固有値の分布が原点から正の距離を保つようにするため、εおよびδに関する追加の条件を導入する。
• 既存の理論的結果（固有値の分布とGMRES収束に関する）を用いて、純粋なヘルムホルツ方程式（ε = 0）の場合への結果の拡張を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的インピーダンス条件を用いた1段階の加法的 Schwarz 予条件子が、ヘルムホルツ方程式に対してk-ロバストな収束を達成できるか？
• RQ2 εおよびδにどのような理論的条件を課すと、高波数極限において予条件子行列が良好に条件付けられるか？
• RQ3 エネルギーノルムにおける予条件子行列の境界が、数値実験で観察されたk-ロバスト性をどのように裏付けるか？
• RQ4 パーティション・オブ・ユニティは、kの変動やメッシュの細分化に対してもロバスト性を維持するために果たす役割は何か？

主な発見

• すべてのε > 0およびδ > 0に対して、kに依存しない予条件子行列のノルムに対するロバストな上界が証明された。
• εおよびδに関する追加条件を課すことにより、固有値の分布が原点から正の距離を保つ厳密な下界が確立された。これにより、良好な条件数が保証された。
• 数値実験で観察されたk-ロバストなGMRES収束に対して、理論的裏付けが提供された。
• Hを固定した場合と、kの増加に伴いHをやや減少させる場合の両方において、手法が有効であることが示され、実用的なロバスト性が確認された。