[論文レビュー] Analysis of the SORAS domain decomposition preconditioner for non-self-adjoint or indefinite problems

Marcella Bonazzoli, Xavier Claeys+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Matrix Theory and AlgorithmsComputer Science参考文献 29被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、自己随伴でないか、不定な線形系に対するSORAS（対称化最適化制限加法的 Schwarz）領域分割プリコンディショナの厳密な収束解析を提示する。既存の理論を対称正定値問題に限らず一般化する。プリコンディショニング行列のノルムおよびその固有値集合が原点からの距離に関する境界を確立することで、境界条件がロビン型である反応対流拡散方程式にGMRESを適用した場合の収束を証明する。粗いメッシュや係数に関する制限のない仮定を必要としない。

ABSTRACT

We analyze the convergence of the one-level overlapping domain decomposition preconditioner SORAS (Symmetrized Optimized Restricted Additive Schwarz) applied to a generic linear system whose matrix is not necessarily symmetric/self-adjoint nor positive definite. By generalizing the theory for the Helmholtz equation developed in [I.G. Graham, E.A. Spence, and J. Zou, SIAM J.Numer.Anal., 2020], we identify a list of assumptions and estimates that are sufficient to obtain an upper bound on the norm of the preconditioned matrix, and a lower bound on the distance of its field of values from the origin. We stress that our theory is general in the sense that it is not specific to one particular boundary value problem. Moreover, it does not rely on a coarse mesh whose elements are sufficiently small. As an illustration of this framework, we prove new estimates for overlapping domain decomposition methods with Robin-type transmission conditions for the heterogeneous reaction-convection-diffusion equation (to prove the stability assumption for this equation we consider the case of a coercive bilinear form, which is non-symmetric, though).

研究の動機と目的

• 標準的な固有値解析が失敗する非自己随伴または不定問題に対して、一般化された収束フレームワークを構築すること。
• 対称正定値問題に限らない領域分割プリコンディショナの固有値集合に基づく解析を拡張すること。
• 異方性反応対流拡散方程式にロビン型境界条件を適用した場合のSORASプリコンディショナの収束境界を確立すること。
• 粗いメッシュを必要とせず、対流、反応、拡散係数の変動に対してもロバストであることを証明すること。

提案手法

• ヘルムホルツ方程式から非自己随伴および不定問題の広いクラスへの固有値集合アプローチの一般化。
• プリコンディショニング行列のノルムおよびその固有値集合が原点からの距離を有界にするための仮定と推定を定義すること。
• 強制的で非対称な双線形形式を持つ反応対流拡散方程式にこのフレームワークを適用すること。
• 部分領域界面でロビン型境界条件を用いてSORASプリコンディショナを構築すること。
• 物理的係数および数値的パラメータに関する最小限の仮定のもとで安定性と収束性を証明すること。
• FreeFEMおよびffddmフレームワークを用いた数値的検証。特に、対流優勢な領域ではSUPG安定化を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値集合フレームワークを非自己随伴および不定問題に一般化し、収束境界を提供できるか？
• RQ2 SORASプリコンディショナが有界なプリコンディショニング行列および原点から離れた固有値集合を持つための条件は何か？
• RQ3 ロビン境界条件を適用した反応対流拡散方程式にSORASプリコンディショナを適用した場合、収束境界を厳密に確立できるか？
• RQ4 対流強度、反応係数、粘性係数の変動に対し、収束性がロバストであるか。特に、対流優勢な領域で成立するか？
• RQ5 小規模な要素を有する粗いメッシュに依存せずに、この手法は有効であるか？

主な発見

• 双線形形式が非対称で強制的であっても、SORASプリコンディショナはロビン型境界条件を有する反応対流拡散方程式に対して収束を達成する。
• 対流および反応係数が変化してもGMRES反復回数は有界であり、ロバストである。数値実験ではORASがSORASを一般に上回る性能を示す。
• 対流優勢な問題（a = [1, 0]T）では、標準的なガラーキン法が不安定性を示すが、SUPG安定化によりロバスト性が回復し、収束が可能になる。
• 弱スケーリングテストでは、反復回数が部分領域数Nに応じて増加し、特に粘性係数ν = 0.001の小規模な場合に顕著で、二レベル法の導入が不可欠であることを示唆する。
• SORASおよびORASの収束性は、重なり幅δを大きくすることで向上し、また、˜c = c₀ − 1の安定性条件が満たされない場合でも両手法は有効である。
• 理論的フレームワークは、小規模な要素を有する粗いメッシュを必要とせず、従来の二レベル手法とは明確に区別される。