[論文レビュー] Domains of discontinuity in oriented flag manifolds

Florian Stecker, Nicolaus Treib|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、限界集合から導かれる集合を除去することにより、Anosov部分群が向き付きフラッグ多様体 $G/P_R$ 上にコンパクトで、正しく不連続な作用を構成することによって、不連続性の領域の理論を向き付きフラッグ多様体へと拡張する。平衡的理想を用いた組合せ的記述がなされ、未向きフラッグ多様体からの引き上げでない最初の例が与えられ、Hitchin表現に対して向き付きグラスマンニアンにおける非空でコンパクトな領域が得られる。

ABSTRACT

We study actions of discrete subgroups $Γ$ of semi-simple Lie groups $G$ on associated oriented flag manifolds. These are quotients $G/P$, where the subgroup $P$ lies between a parabolic subgroup and its identity component. For Anosov subgroups $Γ\subset G$, we identify domains in oriented flag manifolds by removing a set obtained from the limit set of $Γ$, and give a combinatorial description of proper discontinuity and cocompactness of these domains. This generalizes analogous results of Kapovich-Leeb-Porti to the oriented setting. We give first examples of cocompact domains of discontinuity which are not lifts of domains in unoriented flag manifolds. These include in particular domains in oriented Grassmannians for Hitchin representations, which we also show to be nonempty. As a further application of the oriented setup, we give a new lower bound on the number of connected components of $B$-Anosov representations of a closed surface group into $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$.

研究の動機と目的

• 未向きフラッグ多様体から向き付きフラッグ多様体への、コンパクト領域の不連続性の構成を一般化すること。
• 拡張されたワイル群における平衡的理想を用いて、不連続性およびコンパクト性の組合せ的特徴づけを提供すること。
• 未向きフラッグ多様体からの引き上げでない、最初の向き付きフラッグ多様体におけるコンパクト領域の不連続性の例を構成すること。
• 向き付きフレームワークを用いて、$\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ への $B$–Anosov表現の連結成分の数に対する新しい下界を確立すること。

提案手法

• 著者らは、パラボリック部分群 $P_\theta$ の単位成分を含むパラボリック部分群 $P_R$ を用いて、向き付きフラッグ多様体 $\mathcal{F}_R = G/P_R$ を定義し、未向きフラッグ多様体を一般化する。
• 彼らは、$\mathcal{F}_S$ から点の集合を除去して得られる $\Gamma$–不変領域 $\Omega \subset \mathcal{F}_S$ を記述するために、拡張ワイル群 $\widetilde{W}_{R,S}$ における平衡的理想の概念を導入する。
• 限界写像 $\xi: \partial_\infty \Gamma \to \mathcal{F}_\theta$ を用い、$\mathcal{F}_R \to \mathcal{C}(\mathcal{F}_S)$ となる $\Gamma$–等変写像 $\mathcal{Q}$ を構成し、その纤维が除去すべき集合を定義する。
• 除去された集合の近傍における $\Gamma$ の強い横断的拡張性を示すことにより、$\Omega$ 上での作用の正しく不連続であることとコンパクト性を証明する。この際、限界集合の力学と洗練されたシューベルト層の性質を活用する。
• 構成は、ブルハット順序と向き付き設定における横断的相対位置に基づき、特に反対対合と拡張ワイル群の役割に注意を払う。
• Hitchin表現および一般化されたシュットキー表現にこのフレームワークを適用し、向き付きグラスマンニアンにおける得られた領域の非空性とコンパクト性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Anosov表現に対して、未向きフラッグ多様体からの引き上げでない向き付きフラッグ多様体におけるコンパクト領域の不連続性を構成できるか？
• RQ2 拡張ワイル群におけるどの組合せ的構造が、向き付き設定における不連続性およびコンパクト性を特徴づけるか？
• RQ3 $\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ へのHitchin表現が、向き付きグラスマンニアンにおいて非空なコンパクト領域の不連続性を有するか？
• RQ4 向き付きフラッグ多様体フレームワークは、$B$–Anosov表現の連結成分の数に対する新しい下界をどのように得るか？
• RQ5 相対的位置および洗練されたシューベルト層の幾何的意味は、向き付きフラッグ多様体の文脈でどのようなものか？

主な発見

• 本稿は、未向きフラッグ多様体からの引き上げでない、最初に知られている向き付きフラッグ多様体におけるコンパクト領域の不連続性の例を構成した。
• Hitchin表現 $\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ に対して、向き付きグラスマンニアンにおける得られた領域は非空であり、商多様体上の新しい幾何的構造を提供する。
• 著者らは、向き付き設定を用いて、$\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ への $B$–Anosov表現の連結成分の数に対する新しい下界を確立した。
• 領域の構成は、未向きの場合に用いられる平衡的理想を一般化した、拡張ワイル群 $\widetilde{W}_{R,S}$ における平衡的理想に依存する。
• $\Gamma$ が領域 $\Omega \subset \mathcal{F}_S$ 上で正しく不連続かつコンパクトに作用することを、限界集合近傍における横断的拡張性の力学を用いて示した。
• このフレームワークは、Hitchin表現および一般化されたシュットキー表現に適用可能であり、高ランクAnosov力学における広範な適用可能性を示している。