[論文レビュー] Dominator Colorings of Digraphs

Michael Cary|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は有向グラフ（digraph）におけるドミネーター彩色を導入し、パスおよびサイクルのすべての向き付けにおける最小ドミネーター彩色数を確立する。従来の彩色の直感とは逆に、部分グラフのドミネーター彩色数がそのスーパograフのそれより大きいことがあることが明らかになり、有向性に起因する彩色数の乖離を測る新しい不変量 $\varsigma^\star(D)$ が導入される。

ABSTRACT

This paper serves as the first extension of the topic of dominator colorings of graphs to the setting of digraphs. We establish the dominator chromatic number over all possible orientations of paths and cycles. In this endeavor we discover that there are infinitely many counterexamples of a graph and subgraph pair for which the subgraph has a larger dominator chromatic number than the larger graph into which it embeds. Finally, a new graph invariant measuring the difference between the dominator chromatic number of a graph and the chromatic number of that graph is established and studied. The paper concludes with some of the possible avenues for extending this line of research.

研究の動機と目的

• 無向グラフからのドミネーター彩色の概念を有向グラフ（digraph）へ拡張すること。
• 与えられたグラフ構造のすべての向き付けにおける最小ドミネーター彩色数 $\chi_d(D)$ を特定すること。
• 部分有向グラフのドミネーター彩色数が、そのスーパーグラフのそれより大きくなるかどうかを調査し、従来の彩色の単調性に反する事例を提示すること。
• 新しいグラフ不変量 $\varsigma^\star(D)$ を定義・研究し、元の無向グラフのすべての向き付けにおいて $\chi_d(D)$ と $\chi(G_D)$ の最大差を測定すること。
• 有向グラフにおけるドミネーター彩色に関する未解決問題および今後の研究方向性の特定。

提案手法

• 有向グラフ $D$ のドミネーター彩色を、すべての頂点が出隣接弧を介してある色クラスをドミネートするような適切な頂点彩色として定義する。
• $\chi_d(D)$ を、元の無向グラフ $G_D$ のすべての向き付けにおけるドミネーター彩色の色クラス数の最小値として表す。
• 有向パス $P_n$ および有向サイクル $C_n$ を、出次数列の特徴づけと最適彩色の特定によって分析する。
• $\chi_d(P_4) = 3 > 2 = \chi_d(C_4)$ を証明し、部分グラフのドミネーター彩色数がスーパograフのそれより大きいことがあることを示す。
• 不変量 $\varsigma(D) = \chi_d(D) - \chi(G_D)$ 及びその最大値 $\varsigma^\star(D) = \max\{\varsigma(D)\}$（$G_D$ のすべての向き付けにおいて）を導入し、標準彩色数からの有向性に起因する乖離を定量化する。
• $n \mod 4$ に基づき、パスおよびサイクルにおける $\varsigma^\star(\cdot)$ の閉形式表現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有向グラフが $\chi_d(D) = \chi(D)$ を満たすか、すなわち $\varsigma^\star(D) = 0$ となるか？
• RQ2 どの場合に $\chi_d(D)$ が元のグラフ $G_D$ のすべての向き付けに対して不変となるか？
• RQ3 どの場合に $\chi_d(D)$ が弧の反転に対して不変となるか、すなわち $\chi_d(D) = \chi_d(D^{-})$ となるか？
• RQ4 定理3（$\chi_d(D) = 2$ を満たすグラフを特徴づける）を、部集合におけるより大きなドミネーション構造へ一般化できるか？
• RQ5 どの有向グラフ族が、ある $r \in \mathbb{R}$ に対して $\limsup_{n\to\infty} \frac{\chi_d(D)}{\Delta(D)} = r$ を満たすか？

主な発見

• 有向グラフのドミネーター彩色数は部分グラフに関して単調でない：$\chi_d(P_4) = 3 > 2 = \chi_d(C_4)$ であり、部分グラフのドミネーター彩色数がそのスーパograフのそれより大きいことがあることが示された。
• 有向パスについては、$\varsigma^\star(P_n)$ は $n=4k$ のとき $3k-2$、$n=4k+1$ または $n=4k+2$ のとき $3k-1$、$n=4k+3$ のとき $3k$ である。有向サイクルについては、$\varsigma^\star(C_n)$ は $n=4k$ または $n=4k+1$ のとき $3k-2$、$n=4k+2$ のとき $3k-1$、$n=4k+3$ のとき $3k$ である。
• $\varsigma^\star(D)$ は常に非負である。これは観察1より $\chi_d(D) \geq \chi(G_D)$ であるため。
• 完全グラフ $K_n$ および一方の部集合からもう一方の部集合へすべての弧が向かう完全二部グラフ $K_{m,n}$ に対して、$\varsigma^\star(K_n) = \varsigma^\star(K_{m,n}) = 0$ であり、ドミネーター彩色数が標準彩色数と一致することを意味する。
• 有向グラフのドミネーター彩色数は最大次数によって有界でないため、標準頂点彩色とは根本的に異なる性質を示している。
• 本稿では、ドミネーター彩色数が向き付けによって増加しうることを特定し、部分グラフ関係における乖離を測るための $\delta(D,H) = \chi_d(H) - \chi_d(D)$ を導入した。