[論文レビュー] Dorfman connections and Courant algebroids

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Courant代数群への線形接続の一般化としてDorfman接続を導入し、Lie代数群における接続と同様の関係に位置づける。線形スプリッティング $TE \oplus T^*E$ と $E \oplus T^*M$ 上のDorfman接続の間には一対一対応が存在し、この枠組みを用いて $TE \oplus T^*E$ 上の標準的Courant代数群構造を特徴づけ、Lie代数群 $A$ 上の $TA \oplus T^*A$ のスプリッティング、特に表現up to homotopyおよびVB-およびLA-Dirac構造を研究する。

ABSTRACT

We define Dorfman connections, which are to Courant algebroids what connections are to Lie algebroids. Several examples illustrate this analogy. A linear connection $ abla\colon \mathfrak{X}(M) imesΓ(E) oΓ(E)$ on a vector bundle $E$ over a smooth manifold $M$ is tantamount to a linear splitting $TE\simeq T^{q_E}E\oplus H_ abla$, where $T^{q_E}E$ is the set of vectors tangent to the fibres of $E$. Furthermore, the curvature of the connection measures the failure of the horizontal space $H_ abla$ to be integrable. We show that linear horizontal complements to $T^{q_E}E\oplus (T^{q_E}E)^\circ$ in the Pontryagin bundle over the vector bundle $E$ can be described in the same manner via a certain class of Dorfman connections $Δ\colon Γ(TM\oplus E^*) imesΓ(E\oplus T^*M) oΓ(E\oplus T^*M)$. Similarly to the tangent bundle case, we find that, after the choice of a linear splitting, the standard Courant algebroid structure of $TE\oplus T^*E o E$ can be completely described by properties of the Dorfman connection. As an application, we study splittings of $TA\oplus T^*A$ over a Lie algebroid $A$ and, following Gracia-Saz and Mehta, we compute the representations up to homotopy defined by any linear splitting of $TA\oplus T^*A$ and the linear Lie algebroid $TA\oplus T^*A o TM\oplus A^*$. Further, we characterise VB- and LA-Dirac structures in $TA\oplus T^*A$ via Dorfman connections.

研究の動機と目的

• Courant代数群の文脈において、線形接続の自然な一般化としてDorfman接続を定義・形式化すること。
• 線形スプリッティング $TE \oplus T^*E$ と $E \oplus T^*M$ 上のDorfman接続の間の対応関係を確立すること。
• Dorfman接続の性質を用いて、$TE \oplus T^*E$ 上の標準的Courant代数群構造を特徴づけること。
• $A$ をLie代数群とするとき、$TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$ の延長を、そのLie代数群構造とそれに伴う表現up to homotopyを含めて研究すること。
• VB-DiracおよびLA-Dirac構造をDorfman接続の枠組みを用いて分類すること。

提案手法

• Courant代数群への一般化として、$\Gamma(TM \oplus E^*) \times \Gamma(E \oplus T^*M) \to \Gamma(E \oplus T^*M)$ なるDorfman接続 $\Delta$ を定義する。これはBott接続をCourant代数群に一般化したものである。
• 水平補空間 $T^{q_E}E \oplus (T^{q_E}E)^\circ$ を用いて、$TE \oplus T^*E$ の線形スプリッティングと $E \oplus T^*M$ 上のDorfman接続との間の一対一対応を確立する。
• 標準的双対性、アーカンプ、Courant-Dorfman括弧を用いて、Dorfman接続から $TE \oplus T^*E$ 上の標準的Courant代数群構造を再構成する。
• $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$ にこの枠組みを適用し、線形スプリッティングによって誘導されるDorfman接続からLie代数群構造が生じることを示す。
• VB-DiracおよびLA-Dirac構造を、Dorfman接続に関して不変で、Courant括弧および双対性と整合性を持つ部分バンドルとして特徴づける。
• $TA \oplus T^*A$ の任意の線形スプリッティングに対応する表現up to homotopyを、Dorfman接続および誘導されるLie代数群構造を用いて明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie代数群上の接続はどのようにCourant代数群に一般化できるか。この設定では曲率に相当する構造は何か。
• RQ2 線形スプリッティング $TE \oplus T^*E$ と $E \oplus T^*M$ 上のDorfman接続との間の正確な対応関係は何か。
• RQ3 Dorfman接続は $TE \oplus T^*E$ 上の完全なCourant代数群構造をどのように符号化するか。
• RQ4 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$ 上のLie代数群構造は何か。Dorfman接続によってどのように決定されるか。
• RQ5 VB-およびLA-Dirac構造は、$TA \oplus T^*A$ 内でDorfman接続からどのように生じるか。また、それらをどのように特徴づけられるか。

主な発見

• 線形スプリッティング $TE \oplus T^*E$ は、$E \oplus T^*M$ 上のDorfman接続 $\Delta$ とちょうど一対一に対応し、その対応関係が成立する。
• $TE \oplus T^*E$ 上の標準的Courant代数群構造は、関連するDorfman接続の性質、特にアーカンプ、双対性、Courant-Dorfman括弧によって完全に決定される。
• $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$ は、線形スプリッティングによって誘導されるDorfman接続から、Lie代数群構造を引き継ぐ。括弧はLie微分とアーカンプ写像を用いて計算される。
• $TA \oplus T^*A$ の任意の線形スプリッティングに対応する表現up to homotopyは、明示的に計算され、Dorfman接続の作用から生じることが示された。
• $TA \oplus T^*A$ 内のVB-DiracおよびLA-Dirac構造は、Dorfman接続に関して不変で、Courant括弧および双対性と整合性を持つ部分バンドルとして特徴づけられる。
• $TA \oplus T^*A$ 上のLie代数群括弧は、Dorfman接続から完全に再構成可能であり、$a^l$、$(a', \theta')^\dagger$ およびそれらの組み合わせといった基本的セクションの括弧について明示的な式が得られる。