[論文レビュー] Double Bicategories and Double Cospans

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、Bicatにおける内部bicategoryとしての二重bicategoryを導入し、bicategoryと二重カテゴリの両方を一般化する弱い高次カテゴリカル構造を提示する。特に、余帰納を持つ圏における二重コスパンを用いてVerityの二重bicategoryを構成し、角を持つcobordismをモデル化するとともに、完全に弱い立方体的2カテゴリカル構造を提供する。この構造は、トポロジカル量子場理論や高次元カテゴリー理論への応用を有する。

ABSTRACT

Interest in weak cubical n-categories arises in various contexts, in particular in topological field theories. In this paper, we describe a concept of double bicategory, namely a strict model of the theory of bicategories in Bicat. We show that in a special case one can reduce this to what we call a Verity double bicategory, after Domenic Verity. This is a weakened version of a double category, in the sense that composition in both horizontal and vertical directions satisfy associativity and unit laws only up to (coherent) isomorphisms. We prove that there are examples in the form of double bicategories of "double cospans" (or "double spans") in any category with pushouts (pullbacks, respectively), and give a construction from this which involves taking isomorphism classes of objects, and gives a Verity double bicategory of double cospans. We describe cobordisms with corners as an example of this construction.

研究の動機と目的

• bicategoryと二重カテゴリの両方を一般化する弱い高次カテゴリカル構造—二重bicategory—を形式化すること。
• 余帰納を持つ圏における二重コスパンが、完全に弱い立方体的2カテゴリカル構造であるVerity二重bicategoryを自然に導くことの証明。
• 角を持つcobordismを厳密に扱うフレームワークを提供し、これはトポロジカル量子場理論において不可欠である。
• 繰り返しコスパンを用いることで高次元に一般化し、n重bicategoryへの道筋を示唆すること。
• 内部カテゴリー理論と、角を持つ多様体のような幾何的構造との橋渡しをすること。

提案手法

• 2カテゴリ―Bicat（bicategory、ファンクター、擬自然変換からなる）における内部bicategoryとして二重bicategoryを定義する。
• 両方向での合成が弱く、同型を介した coherence 法則を満たす特別なケースとしてVerity二重bicategoryを導入する。
• 余帰納を持つ圏における二重コスパンを構成し、共通の中間対象への射を持つオブジェクトを用い、2セルを可換な四角形として定義する。
• 二重コスパンの同型類が、弱い合成と整合性を保ちながらVerity二重bicategoryを生成することを示す。
• 多様体の角を持つ場合に、cobordismを二重コスパンとしてモデル化し、余帰納による滑らかな接合を実現する。
• 繰り返しコスパンを用いてn次元立方体に一般化し、任意のk ≥ 2に対してk重bicategoryの階層的構成を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 bicategoryと二重カテゴリの両方を一般化する完全に弱い立方体的2カテゴリカル構造をどのように定義できるか？
• RQ2 余帰納を持つ圏における二重コスパンが、両方向で弱い合成を持つVerity二重bicategoryを形成できるか？
• RQ3 二重コスパンは、トポロジカル量子場理論における角を持つcobordismをどのようにモデル化するか？
• RQ4 同型類は、二重コスパンからwell-behavedなVerity二重bicategoryを構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 二重コスパンの構成を繰り返し適用することで、高次元の弱い立方体的カテゴリを得られるか？

主な発見

• 二重bicategoryはBicatにおける内部bicategoryとして定義され、弱い高次カテゴリの整合的枠組みを提供する。
• Verity二重bicategoryは、水平および垂直方向の合成が両方弱く、同型を介したcoherenceを満たす特別なケースとして現れる。
• 余帰納を持つ圏における二重コスパンは、弱い合成がcoherentな同型を介して保たれる二重bicategoryを形成する。
• 二重コスパンの同型類は、同値関係の存在下でも整合的な合成が保証されるVerity二重bicategoryを生成する。
• 余帰納による多様体のコルト付きの貼り合わせを用いて、角を持つcobordismをモデル化し、滑らかな構造を保存する。
• 繰り返しコスパンによりn次元立方体が得られ、任意のk ≥ 2に対してk重bicategoryの一般的構成が示唆される。