[論文レビュー] Pseudo Algebras and Pseudo Double Categories

Thomas M. Fiore|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、2理論の圏に関する擬代数と折りたたみをもつ擬双圏の間の正確な圏的同値性を確立し、このような双圏が、厳密単位元をもつ2圏への厳密2ファンクター I → C と同値であることを示している。主な貢献は、ホロノミー（折りたたみ）関手が水平2圏の2セル構造を関手的に符号化する仕組みを明らかにする2同値であり、2群の場合の一般化としてのクロスモジュールの概念を拡張するものである。

ABSTRACT

As an example of the categorical apparatus of pseudo algebras over 2-theories, we show that pseudo algebras over the 2-theory of categories can be viewed as pseudo double categories with folding or as appropriate 2-functors into bicategories. Foldings are equivalent to connection pairs, and also to thin structures if the vertical and horizontal morphisms coincide. In a sense, the squares of a double category with folding are determined in a functorial way by the 2-cells of the horizontal 2-category. As a special case, strict 2-algebras with one object and everything invertible are crossed modules under a group.

研究の動機と目的

• 2理論の圏に関する擬代数と折りたたみをもつ擬双圏の間の関係を形式化すること。
• 双圏における折りたたみ構造がホロノミー関手および2圏への2ファンクターに対応する仕組みを明確化すること。
• 擬I-圏、折りたたみをもつ擬双圏、および厳密単位元をもつ2圏への厳密2ファンクターのカテゴリの間の2同値を確立すること。
• 弱単位元および擬折りたたみへと同値を拡張するため、双同値を用い、厳密な場合の一般化を行うこと。

提案手法

• 2理論から圏 I の自己準同型2理論への2準同型として、2理論の圏に関する擬代数を定義する。
• 双圏における折りたたみの概念を導入し、水平2圏の2セルをホロノミー関手によって決定する。
• 厳密単位元をもつ折りたたみをもつ擬双圏の2圏から、厳密単位元をもつ2圏への厳密2ファンクター I → C の2圏への2ファンクターを構成する。
• ホロノミー関手を用いて、2圏における水平合成の2セルを厳密に保存するようにし、単位元および整合性同型の保存を保証する。
• 逆関手の明示的構成を用いて、厳密単位元をもつ擬I-圏と、厳密単位元をもつ折りたたみをもつ擬双圏の間の2同値を証明する。
• 弱単位元および擬折りたたみへと同値を拡張する際、双同値を用い、厳密な可換性の代わりに整合性同型を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2理論の圏に関する擬代数は、折りたたみ構造をもつ双圏の構造としてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 折りたたみをもつ双圏と、厳密単位元をもつ2圏への2ファンクターの間の正確な関係は何か？
• RQ3 双圏における折りたたみ構造は、ホロノミー関手および水平2圏における2セル合成に対し、どのように対応するか？
• RQ4 擬I-圏と擬双圏の同値性において、厳密単位元と弱単位元の役割は何か？
• RQ5 双同値を用いて、弱単位元および擬折りたたみへと同値を一般化できるか？

主な発見

• 2理論の圏に関する擬代数で、底辺の圏が I であるものは、対応する対象圏が I である折りたたみをもつ擬双圏と厳密単位元をもつものと2同値である。
• 双圏における折りたたみ構造は、水平2圏における2セル合成を関手的に符号化するホロノミー関手と同値である。
• 折りたたみをもつ厳密単位元をもつ擬双圏の2圏は、厳密単位元をもつ2圏への2ファンクター I → C の2圏と2同値である。
• 群の族 I に対して、厳密単位元をもつ擬I-圏は、折りたたみをもつ擬双圏および厳密単位元をもつ2圏への2ファンクターと2同値である。
• 弱単位元および擬折りたたみに対しても同様の双同値が成り立ち、厳密可換性の代わりに整合性同型が用いられる。
• 具体的な例として、同型をもつ環の擬双圏や、双対写像をもつワールドシートの例において、折りたたみは可逆な準同型との合成に対応する。