[論文レビュー] Double complex SUSY-transformations: deformations of real potentials and their spectral characteristics

Sergei P. Maydanyuk|ArXiv.org|Oct 22, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 62被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非簡約な複素エネルギーを用いた、実ポテンシャルの正確な変形を保ちつつその実数性とスペクトル特性を維持する、新しい二重複素超対称量子力学（SUSY）変換手法を提案する。異なるエネルギーパラメータを有する複素ダーブルックス変換を適用することで、離散スペクトル（例：有限の長方形井戸）および連続スペクトル（例：ゼロポテンシャル）系の両方に対して、連続的かつ解析的に取り扱える変形が可能となり、形状・深さ・対称性を完全に制御可能な、新しい等スペクトル的で反射なしで非対称な二重井戸ポテンシャルが得られる。これは、既存の形状不変モデルに対するより単純な代替手法を提供する。

ABSTRACT

In paper approach of double complex SUSY-transformations with not coincident complex energies of transformation is developed, allowing to deform given real potential $V_{1}$ with obtaining exact solutions. The explicit solutions of the deformation of shape of the potential, its wave function at arbitrary energy, not coincident with energies of transformation, wave functions at the energies of transformation are obtained, condition of keeping of continuity of the solutions and isospectral condition are determined. Using a rectangular well of finite width with infinitely high walls as the starting $V_{1}$ with discrete energy spectrum, by the proposed approach new types of deformation of this potential with deformation of the energy spectrum as a whole have been obtained. The new potential contains the rectangular well as own partial case (with simultaneous transformation of the shape of this new potential, energy spectrum, wave functions of all bound states, wave function at arbitrary energy into corresponding characteristics of the rectangular well at needed choice of parameters). Using null potential as the starting $V_{1}$ with continuous energy spectrum, new form of reflectionless real potential has been constructed. This potential generalizes well-known reflectionless potential of the type $V_{ m ref}(x) = A^{2}(1-2 { m sech}^{2}{Ax})$, allowing: to pull down tails of the potential $V_{ m ref}$ in the asymptotic regions up to zero (with keeping of nonzero depth); to pull down continuously the depth of the hole; to displace arbitrary along axis $x$ the hole with its passing through zero; to create and to increase the second hole, transforming $V_{ m ref}$ into double-well potential; to control continuously and simply the asymmetry of the shape of such reflectionless potential.

研究の動機と目的

• 実量子ポテンシャルの連続的かつ正確な変形手法を構築し、その実数性とスペクトル構造を維持すること。
• 標準的な実エネルギー変換を超えて、変換に用いる非一致な複素エネルギーを用いることで、超対称量子力学を拡張すること。
• 可変な非対称性と深さを有する、変形された長方形井戸や一般化された反射なしポテンシャルを含む、新しいタイプの等スペクトル的ポテンシャルを構築すること。
• 任意のエネルギーおよび変換エネルギーにおける波動関数の明示的解析解を提供し、連続性とスペクトル不変性を保証すること。
• パラメータの簡単な調整により、ポテンシャルの形状、特にテールの挙動、ハローの深さ、二重井戸の形成を実用的に制御できることを示すこと。

提案手法

• 二つの異なる複素エネルギー $\mathcal{E}_1$ および $\mathcal{E}_2$ を用いた二重複素SUSY変換を用い、出発する実ポテンシャル $V_1$ から新たなポテンシャルを生成する。
• 因子化法とリッカティ方程式の枠組みを用いて、変換エネルギーにおけるシュレーディンガー方程式の解 $\phi_i^{(k)}$ から超ポテンシャル $W_i^{(k)}$ を導出する。
• 演算子 $A_i = \frac{d}{dx} + W_i(x)$ および $A_i^+ = -\frac{d}{dx} + W_i(x)$ を用いた一次元ダーブルックス変換により、等スペクトル的パートナーポテンシャルを生成する。
• 変形されたポテンシャル $V_2(x)$、任意エネルギーにおける波動関数 $\varphi_n^{(2)}$、および変換エネルギーにおける波動関数 $\varphi_m^{(2)}$ の明示的閉形式表現を導出する。
• 波動関数の連続性を保つために、発散や不連続性のない条件を課し、等スペクトル性を確保する。
• 本手法を二つの主要な出発ポテンシャルに適用する：(1) 無限壁を有する有限長方形井戸（離散スペクトル）、および (2) ゼロポテンシャル（連続スペクトル）であり、これらから新たなポテンシャルクラスが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一致な複素エネルギーを用いた二重複素SUSY変換は、発散や不連続性を生じさせず、スペクトルの等スペクトル性と解の連続性を保ちながら、新たな実ポテンシャルを生成できるか？
• RQ2 有限長方形井戸の形状を複素SUSY変換により連続的に変形できるか？ そのエネルギー準位および波動関数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 既知の反射なしポテンシャル $V_{\rm ref}(x) = A^2(1 - 2\,{\rm sech}^2(Ax))$ は、本手法を用いて、深さ・非対称性・二重井戸の形成を調整可能な形に一般化可能か？
• RQ4 変形されたポテンシャルにおける任意エネルギーおよび変換エネルギーにおける波動関数の明示的解析的形は何か？
• RQ5 既存の形状不変または自己相似モデルと比較して、本手法は反射なしポテンシャルの構築をどの程度単純化できるか？

主な発見

• 本手法は、発散や不連続性を生じさせることなく、出発する実ポテンシャル $V_1$ から新たな実ポテンシャルを生成し、波動関数の連続性を保証した。
• 有限長方形井戸に対しては、パラメータの調整により、すべての束縛状態の波動関数およびエネルギー準位が連続的に変形可能な新しいポテンシャルが得られ、極限的に元の井戸に還元される。
• ゼロポテンシャルは、テールの挙動（ゼロへの引き下げ）、ハローの深さ、位置（ゼロを通過する場合を含む）、および第二のハローの生成を可能にする一般化された反射なしポテンシャルに変換される。これにより、対称的な二重井戸ポテンシャルに変化する。
• $\mathcal{E}_2$ を $-0.00001$ から $-19$ に変化させることで、対称的な単一井戸ポテンシャルが滑らかに対称的な二重井戸ポテンシャルに変化し、非対称性の連続的制御が可能であることが示された。
• 得られた反射なしポテンシャルは、既存の形状不変または自己相似型の反射なしポテンシャルよりも形式が単純でありながら、完全な反射なし特性を維持し、参考文献[69]の構築則を満たしている。
• 任意エネルギーおよび変換エネルギーにおける波動関数が明示的に導出され、有限かつ連続であることが示され、等スペクトル変換の有効性が確認された。