[論文レビュー] Double derivations and Cyclic homology

Victor Ginzburg|ArXiv.org|May 12, 2005

Cancer Treatment and Pharmacology参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非可換微分形式の拡張複体を用いて、代数の巡回ホモロジーの新規構成を提示する。Connesの微分をKaroubi-de Rham微分に置き換え、ベクトル場の縮約に類似した新規な縮約型微分 $\imath_{\Delta}$ を導入する。主な貢献は、$({\Omega^{\vee\bullet}A})[u], d + u\cdot\imath_{\Delta}$ の全複体のコホモロジーとして定義される巡回ホモロジー理論の構築であり、Connesの微分に依存しないde Rham風の巡回ホモロジーのアプローチを提供する。

ABSTRACT

We give a new construction of cyclic homology of an associative algebra A that does not involve Connes' differential. Our approach is based on an extended version of the complex ΩA, of noncommutative differential forms on A, and is similar in spirit to the de Rham approach to equivariant cohomology. Indeed, our extended complex maps naturally to the equivariant de Rham complex of any representation scheme Rep A. We define cyclic homology as the cohomology of the total complex (ΩA)[t], d+t \cdot i, arising from two anti-commuting differentials, d and i, on ΩA. The differential d, that replaces the Connes differential B, is the Karoubi-de Rham differential. The differential i that replaces the Hochschild differential b, is a map analogous to contraction with a vector field. This new map has no commutative counterpart.

研究の動機と目的

• 代数の巡回ホモロジーの新規な幾何的動機付けの構成を、Connesの微分に依存せずに開発すること。
• 非可換微分形式複体 $\Omega^\bullet A$ を拡張することで、非可換de Rham複体の類似物を確立すること。
• Hochschild微分 $b$ の代わりに機能する、ベクトル場の縮約に類似した新規な微分 $\imath_{\Delta}$ を導入すること。
• 全複体 $({\Omega^{\vee\bullet}A})[u], d + u\cdot\imath_{\Delta}$ のコホモロジーが巡回ホモロジーを計算することを示し、非可換幾何学の新しい枠組みを提供すること。
• 自然な写像を通じて、表現スキーム $\operatorname{Rep} A$ の等長de Rham複体へ接続すること。

提案手法

• 非可換微分形式複体 $\Omega^\bullet A$ を拡張し、二重微分作用素を用いて新たな微分 $\imath_{\Delta}$ を定義する。
• 微分 $d$ はConnesの $B$-微分を置き換えるKaroubi-de Rham微分である。
• 全複体は $({\Omega^{\vee\bullet}A})[u]$ として構成され、微分は $d + u\cdot\imath_{\Delta}$ である。ここで $u$ は次数2の形式的変数である。
• $\imath_{\Delta}$ は二重微分作用素 $\Delta \in \operatorname{\mathbb{D}er} A$ を用いて定義され、拡張複体上で次数 $-1$ の勾配微分作用素として作用する。
• この構成は自然に表現スキーム $\operatorname{Rep} A$ の等長de Rham複体へ写像され、幾何的不変量と結びつく。
• 自由積構成 $A_t = A * \Bbbk[t]$ を用い、$\deg t = 2$ とすることで、拡張された微分形式をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回ホモロジーは、Connesの微分 $B$ を用いずに再構成可能か？
• RQ2 二重微分作用素は、非可換de Rham型複体を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Hochschild微分 $b$ は非可換幾何学において幾何学的にどのように解釈できるか？
• RQ4 拡張された微分形式複体から、$\operatorname{Rep} A$ の等長de Rham複体への自然な写像は存在するか？
• RQ5 $\imath_{\Delta}$ の縮約作用は、ベクトル場の縮約に類似した幾何的解釈を与えられるか？

主な発見

• 代数 $A$ の巡回ホモロジーは、$d$ がKaroubi-de Rham微分で、$\imath_{\Delta}$ が二重微分作用素から生じる新規な微分である全複体 $({\Omega^{\vee\bullet}A})[u], d + u\cdot\imath_{\Delta}$ のコホモロジーとして実現される。
• $\imath_{\Delta}$ は、二重微分作用素 $\Theta \in \operatorname{\mathbb{D}er} A$ によって誘導される、$T^t_A(A^{\otimes 2} \oplus \Omega^1 A)$ 上の次数 $-1$ の勾配微分作用素である。
• この構成は、表現スキーム $\operatorname{Rep} A$ の等長de Rham複体への自然な写像を提供し、幾何的リンクを確立する。
• $\Omega_t A \cong T^t_A(A^{\otimes 2} \oplus \Omega^1 A)$ の同型が確立され、拡張された微分形式が $A^{\otimes 2} \oplus \Omega^1 A$ 上のテンソル代数に同型であることが示される。
• $T^\tau_A(A^{\otimes 2} \oplus M)$ 上の微分 $\partial$（$\frac{d}{d\tau}$ に対応）が明示的に計算され、一般化されたバーディフェレントイナルであることが示される。
• この枠組みは、古典的なde Rhamアプローチを非可換幾何学へ一般化し、$\imath_{\Delta}$ は可換の場合に類似物が存在しないため、非可換性の重要な特徴を強調する。