[論文レビュー] Noncommutative Geometry and Quiver algebras

William Crawley-Boevey, Pavel Etingof+1 more|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、二重微分作用素を用いた非可換微分幾何およびシンプレクティック幾何の新しい枠組みを導入し、任意の滑らかな結合的代数 $B$ に対して非可換余接 bundle $T^*B$ を定義するとともに、非可換モーメント写像とハミルトニアン還元を確立する。主な結果は、リー代数構造 $Π/[Π,Π]$（ポisson括弧に類似）がハミルトニアン還元 $Π_w/[Π_w,Π_w]$ に拡張されることであり、非ディンキン型のクーヴィーに対しては、ホッホシュチルドコホホロジーがこのリー代数によって誘導される完全なゲルステンハーバー代数構造を持つことである。

ABSTRACT

We develop a new framework for noncommutative differential geometry based on double derivations. This leads to the notion of moment map and of Hamiltonian reduction in noncommutative symplectic geometry. For any smooth associative algebra B, we define its noncommutative cotangent bundle T^*B, which is a basic example of noncommutative symplectic manifold. Applying Hamiltonian reduction to noncommutative cotangent bundles gives an interesting class of associative algebras, P=P(B), that includes preprojective algebras associated with quivers. Our formalism of noncommutative Hamiltonian reduction provides the space P/[P,P] with a Lie algebra structure, analogous to the Poisson bracket on the zero fiber of the moment map. In the special case where P is the preprojective algebra associated with a quiver of non-Dynkin type, we give a complete description of the Gerstenhaber algebra structure on the Hochschild cohomology of P in terms of the Lie algebra P/[P,P].

研究の動機と目的

• 標準的手法に内在する情報損失を回避するため、二重微分作用素に基づく非可換微分幾何およびシンプレクティック幾何の新しい形式的枠組みを構築すること。
• 任意の滑らかな結合的代数 $B$ に対して、非可換余接 bundle $T^*B$ をシンプレクティック多様体として定義すること。
• 可換な状況へのシンプレクティック還元の一般化として、非可換モーメント写像とハミルトニアン還元を確立すること。
• 非ディンキン型クーヴィーの前射影的代数のホッホシュチルドコホホロジーにおけるゲルステンハーバー代数構造を、リー代数 $\Pi/[\Pi,\Pi]$ の観点から記述すること。
• 前射影的代数 $\Pi$ の中心が自明（スカラーのみからなる）であり、かつ $\Pi$ が素であることを示すこと。

提案手法

• 二重微分作用素 $A \to A \otimes A$ を非可換ベクトル場として導入し、通常の微分作用素を一般化する。
• カルービ・デ・ラーム複体 $\mathrm{DR}^\bullet A$ 上で、二重微分作用素に対するリー微分および内積作用素を定義する。
• 非可換余接 bundle $T^*B$ 上に、自然なシンプレクティック2形式 $\omega \in \mathrm{DR}^2(T^*B)$ を構成する。
• 双対微分作用素 $\Delta: a \mapsto a \otimes 1 - 1 \otimes a$ を用いて、閉じた2形式から $A$ の元への写像として非可換モーメント写像を定義する。
• $A$ を二面的イデアル $A{\mathbf{w}}A$ で割ることによりハミルトニアン還元を行う。ここで ${\mathbf{w}}$ は、モーメント写像によるシンプレクティック形式の像である。
• 表現関手 $\mathrm{Rep}_n$ を用いて、非可換構造と $\mathrm{Rep}_n A$ 上の可換幾何を関連づけ、古典的概念と整合性を持つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重微分作用素を用いた非可換微分幾何の再定式化により、標準的手法に内在する情報損失を回避し、より豊かな代数的構造を保存できるか。
• RQ2 非可換余接 bundle とは何か、そしてそれがどのようにシンプレクティック構造を持つのか。
• RQ3 非可換幾何におけるハミルトニアン還元は、モーメント写像および可換な状況におけるシンプレクティック還元とどのように関係するか。
• RQ4 非ディンキン型クーヴィーの前射影的代数のホッホシュチルドコホホロジーにおけるゲルステンハーバー代数構造とは何か。
• RQ5 非ディンキン型の前射影的代数の中心は自明であるか。また、その代数は素であるか。

主な発見

• シンプレクティック2形式が $A$ 上に存在するとき、$A/[A,A]$ 上に誘導されるリー括弧が、ハミルトニアン還元 $A_\mathbf{w}/[A_\mathbf{w}, A_\mathbf{w}]$ に引き継がれ、非可換シンプレクティック還元の類似が確立される。
• 非可換余接 bundle $T^*B$ に対して、表現スキーム $\mathrm{Rep}_n(T^*B)$ はシンプレクティック多様体であり、$T^*B/[T^*B, T^*B]$ の元はこの多様体上の正則関数へ写像される。
• 非ディンキン型クーヴィーに付随する前射影的代数 $\Pi$ のホッホシュチルドコホホロジーには完全なゲルステンハーバー代数構造が存在し、リー括弧 $\Pi/[\Pi,\Pi]$ が奇数次元部分を生成する。
• 前射影的代数 $\Pi$ の中心は自明である：$Z(\Pi) = \Bbbk$ であり、これは一般の表現多様体の既約性とシュールの補題を用いて証明される。
• 前射投影的代数 $\Pi$ は素である：$a,b \in \Pi$ が非ゼロで $a\Pi b = 0$ ならば、$\mathbf{d} \in \Sigma_0$ に対して $\mathrm{Rep}(\Pi, \mathbf{d})$ の既約性から矛盾が生じる。
• 非可換モーメント写像は、$\mathrm{DR}^2 A$ 内の閉じた2形式を $A$ の元へ写像する。その像 $\mathbf{w}$ は、$\mathrm{Rep}_n A \to (\mathfrak{gl}_n)^*$ へのモーメント写像を定義する。