[論文レビュー] Double Hopf bifurcation in delayed reaction-diffusion systems

Yanfei Du, Ben Niu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ノイマン境界条件を満たす遅延反応拡散系における双曲的分岐の高次元2次元の二重ホップ分岐点の近傍で、中心多様体還元と正規形理論を用いて、厳密なアルゴリズムを開発する。主な貢献は、局所的力学を支配する12種類の異なるアンフォールディング系の同定であり、数値的検証により空間的に非一様な周期的軌道の共存と、トーラスの崩壊に伴うストレンジアトラクタの出現が示された。

ABSTRACT

Double Hopf bifurcation analysis can be used to reveal some complicated dynamical behavior in a dynamical system, such as the existence or coexistence of periodic orbits, quasi-periodic orbits, or even chaos. In this paper, an algorithm for deriving the normal form near a codimension-two double Hopf bifurcation of a reaction-diffusion system with time delay and Neumann boundary condition is rigorously established, by employing the center manifold reduction technique and the normal form method. We find that the dynamical behavior near bifurcation points are proved to be governed by twelve distinct unfolding systems. Two examples are performed to illustrate our results: for a stage-structured epidemic model, we find that double Hopf bifurcation appears when varying the diffusion rate and time delay, and two stable spatially inhomogeneous periodic oscillations are proved to coexist near the bifurcation point; in a diffusive predator-prey system, we theoretically proved that quasi-periodic orbits exist on two- or three-torus near a double Hopf bifurcation point, which will break down after slight perturbation, leaving the system a strange attractor.

研究の動機と目的

• 遅延反応拡散系に適用可能な、ノイマン境界条件を満たす二重ホップ分岐点の近傍における正規形を計算するための体系的アルゴリズムを確立すること。
• 分岐点の近傍における局所的力学的挙動を12種類の異なるアンフォールディング系に分類すること。
• 段階構造型疫病モデルと拡散型捕食者・被食者系という2つの生物学的モデルを通じて、手法の適用可能性を示すこと。
• モデル内に空間的に非一様な周期的振動と2次元および3次元トーラス上の準周期的軌道が共存することを証明すること。
• 3次元トーラスの崩壊がストレンジアトラクタの出現を引き起こし、カオス的挙動を示唆することを示すこと。

提案手法

• 分岐点の近傍における無限次元の遅延反応拡散系を、中心多様体還元により有限次元系に簡略化する。
• 非線形変換を用いて力学を単純化する正規形法を用い、アンフォールディング系の明示的表現を導出する。
• 正規形における重要なパラメータ、特に分岐の方向と安定性を決定するパラメータを計算するために、正規直交フーリエ基底展開を用いる。
• 正規形の臨界定数、例えば $ B_{11}, B_{21}, B_{13}, B_{23}, B_{2100}, B_{1011}, B_{0021}, B_{1110} $ およびパラメータ $ \epsilon_1, \epsilon_2, b_0, c_0, d_0 $ の公式を導出する。
• 正規形係数の符号と値、および行列式 $ d_0 - b_0 c_0 $ を用いて、アンフォールディング系を12種類のタイプのいずれかに分類する。
• ポアンカレ断面を用いた数値シミュレーションにより、2次元および3次元トーラス上の準周期的解の可視化とストレンジアトラクタの出現を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマン境界条件を満たす遅延反応拡散系における、高次元2次元の二重ホップ分岐点の近傍での完全な正規形構造は何か？
• RQ2 このような分岐点から生じる異なる力学的アンフォールディング系の数はいくつであり、それらの定性的な挙動は何か？
• RQ3 導出されたアルゴリズムは、現実のモデルにおいて複数の周期的または準周期的解の共存を予測できるか？
• RQ4 パラメータが二重ホップ分岐点を通過する際のダイナミクス的遷移、特にトーラスの形成と崩壊に関してはどのようなものか？
• RQ5 3次元トーラスの消失に続いてストレンジアトラクタが出現する場合、その方法でカオス的ダイナミクスを検出できるか？

主な発見

• 二重ホップ分岐点 HH は $ r_1 = 0.6739271475 $, $ \tau = 10.4238045 $ で特定され、$ \omega_0^+ = 0.77444 $, $ \omega_0^- = 0.362170 $ である。
• $ \epsilon_1 = -1 $, $ \epsilon_2 = 1 $, および $ d_0 - b_0 c_0 = 0.336547 $ のため、アンフォールディング系はタイプVIaに分類される。
• HHの近傍では、 $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.69 $ のとき、2次元トーラス上に準周期的解が存在し、図6(a)に示す。
• $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.71 $ のとき、3次元トーラス上に準周期的解が出現し、図6(b)に図示されている。
• $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.726 $ のとき、システムはストレンジアトラクタとカオス的挙動を示し、図6(c)のポアンカレ写像により確認された。
• 3次元トーラスからストレンジアトラクタへの遷移は、カオスの発生を示唆するルエル＝タケンズ＝ニューハウスのシナリオを支持する。