[論文レビュー] Hopf-zero bifurcation and the normal forms in reaction-diffusion systems with time delays

Qi An, Weihua Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間遅れを伴う2成分反応拡散系におけるホフツ・ゼロ分岐に注目し、明示的かつ計算可能な正規形の公式を導出する。ホフツ・ゼロ分岐に特化した手法を用いることで、空間的に非一様な定常状態、周期的解、準周期的解といった可能な吸引子を同定し、臨界分岐点近傍における複雑な空間時間的ダイナミクスの体系的解析を可能にする。

ABSTRACT

We study the Hopf-zero bifurcation and give a simple and explicit calculation formula of the normal forms for a general two-components system of reaction- diffusion equation with time delays. We declare that our formula can be applied to computer programming calculation. Firstly, we extend the normal forms method to Hopf-zero singularity and give an abstract expression of the normal forms as simple as possible. Secondly, we choose Turing-Hopf bifurcation, which is one of the most interesting types of the Hopf-zero bifurcation, to demonstrate the concrete algorithm and give the explicit formula. Finally, we obtain the possible attractors of the original reaction diffusion system with delays near the Turing-Hopf singularity by the further analysis of the normal forms. The possible attractors mainly include, the spatially non-homogeneous steady-state solutions, periodic solutions and quasi-periodic solutions.

研究の動機と目的

• 反応拡散系に時間遅れを含むホフツ・ゼロ特異点における正規形手法の拡張を目的とする。
• アルゴリズム実装に適したシンプルで明示的な正規形の公式を導出することを目的とする。
• 導出した正規形を用いて、チューリング・ホフツ分岐近傍における複雑な空間時間的パターンの出現を分析することを目的とする。
• ホフツ・ゼロ特異点近傍における、元の系の可能な吸引子（定常状態、周期的解、準周期的解）を同定することを目的とする。

提案手法

• 一般の2成分反応拡散系に時間遅れを含む場合について、正規形の抽象的で簡略化された表現を導出する。
• 具体的な計算アルゴリズムの提示を目的として、チューリング・ホフツ分岐のケースに特化した手法を適用する。
• 時間遅れを扱うために、中心多様体還元と多重スケール解析を用いて正規形の計算を実施する。
• 得られた正規形を解析し、臨界分岐点近傍における元の系の定性的な挙動を特定する。
• 数値ソフトウェアでの実装を想定した設計であり、実用的応用性を確保する。
• 正規形ダイナミクスの理論的解析により、元の系における吸引子の可能性のあるタイプを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反応拡散系に時間遅れを含むホフツ・ゼロ分岐における正規形手法は、どのように適合可能か？
• RQ2 このような系における正規形に対して、明示的かつ計算に適した公式はどのように導出可能か？
• RQ3 時間遅れを伴う反応拡散系において、チューリング・ホフツ分岐近傍にどのような空間時間的吸引子が出現するか？
• RQ4 時間遅れは、これらの系における分岐構造とダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 正規形ダイナミクスと元の系の吸引子との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 時間遅れを伴う2成分反応拡散系の正規形に対して、アルゴリズム実装に適した明示的かつ計算可能な公式が導出された。
• 本手法は、特にチューリング・ホフツ分岐の文脈において、ホフツ・ゼロ特異点近傍のダイナミクスを的確に捉えている。
• 臨界分岐点近傍に、空間的に非一様な定常状態解が可能な吸引子として出現する。
• ホフツ分岐の成分により、周期的解が潜在的な吸引子として同定された。
• ホフツ分岐とチューリング分岐の相互作用から、準周期的解が生じ、複雑な周期的挙動を示す。
• 正規形解析により、元の系の臨界特異点近傍における長期的ダイナミクスの体系的分類が可能になった。