[論文レビュー] Doubled Formalism, Complexification and Topological Sigma-Models

Vid Stojevic|ArXiv.org|Sep 24, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素化された標高空間を含むAKSZ構成の一般化により、トポロジカルなシグマ模型の二重化形式を導入し、A-理論とB-理論を統一的な枠組みで扱えるようにした。二重化理論がA-理論およびB-理論の分配関数の二乗ノルムを計算すること、Hitchin汎関数を通じてトポロジカルM理論と関連すること、ゲージ固定の選択によって正則写像モデルと定数写像モデルの間を滑らかに接続する新しい解が得られることを示した。

ABSTRACT

We study a generalization of the Alexandrov-Kontsevich-Schwarz-Zaboronsky (AKSZ) formulation of the A- and B-models which involves a doubling of coordinates, and can be understood as a complexification of the Poisson $σ$-model underlying these. In the flat space limit the construction contains models obtained by twisting an N=2 supersymmetric $σ$-model on Hull's doubled geometry. The curved space generalization involves a product of two diffeomorphic Calabi-Yau manifolds, and the $O(d,d)$ metric can be understood as a complexification of the CY metric. In addition, we consider solutions that can not be obtained by twisting the above $σ$-model. For these it is possible to interpolate between a model evaluated on holomorphic maps and one evaluated on constant maps by different choices of gauge fixing fermion. Finally, we discuss some intriguing similarities between aspects of the doubled formulation and topological M-theory, and a possible relation with results from the theory of Lie and Courant algebroids, where a doubled formulation plays a role in relating two- and three-dimensional topological theories.

研究の動機と目的

• A-理論とB-理論を統一的に記述できる拡張されたスーパemanifold構造を持つ二重化座標フレームワークへのAKSZ形式の一般化を目的とする。
• 2つの微分同相なCalabi-Yau多様体を用いた、曲がった空間における二重化形式の一般化を、複素化された計量を用いて行う。
• ゲージ固定フェルミオンの選択によって、A型（正則写像）とB型（定数写像）モデルの間を滑らかに接続する新しいマスター方程式の解を同定すること。
• 特にHitchin汎関数とWigner変換を通じて、二重化形式とトポロジカルM理論との関係を調査すること。
• Lie代数ダブルトランスフォーメーションとCourant代数ダブルトランスフォーメーションが、二重化形式を通じてトポロジカル弦理論と膜理論を結ぶ役割を果たす仕組みを明確化すること。

提案手法

• 拡張されたスーパemanifold構造を持つトポロジカル量子場理論を構築するため、Batalin-Vilkovisky (BV)形式およびAKSZ形式を採用する。
• 2つの微分同相なCalabi-Yau多様体の積として二重化された標高空間を導入し、O(d,d)計量をCalabi-Yau計量の複素化版に置き換える。
• 正規座標展開を用いて計量の複素化を定義し、マスター方程式およびBV幾何学と整合することを保証する。
• 平坦極限におけるHullの二重化幾何におけるN=2超対称シグマ模型のねじりにより、二重化A-理論およびB-理論を構成する。
• 異なるゲージ固定フェルミオンを用いることで中間的ゲージ選択を実装し、A型とB型モデルの間を滑らかに接続する。
• 二重化理論の分配関数を|Z_A/B|²と関連づけ、Hitchin汎関数を通じてトポロジカルM理論との関係を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AKSZ構成を、複素化を通じてA-理論とB-理論を統一する二重化形式に一般化する方法は何か？
• RQ2 曲がった空間における二重化形式の一般化とは何か？ また、複素化された計量を用いた2つの微分同相なCalabi-Yau多様体の積とどのように関係するか？
• RQ3 ゲージ固定フェルミオンの選択によって、A型（正則写像）とB型（定数写像）モデルの間を滑らかに接続するマスター方程式の新しい解を得られるか？
• RQ4 特にHitchin汎関数とWigner変換を通じて、二重化形式とトポロジカルM理論との明確な関係は何か？
• RQ5 Lie代数ダブルトランスフォーメーションとCourant代数ダブルトランスフォーメーションが、二重化形式を通じて2次元および3次元のトポロジカル場理論をどのように結びつけるか？

主な発見

• 二重化形式は、A-理論およびB-理論の分配関数の二乗ノルム|Z_A/B|²を計算しており、単なる二乗とは異なり、より深い量子的構造を示唆している。
• 平坦空間極限において、二重化A-理論およびB-理論は、Hullの二重化幾何におけるN=2超対称シグマ模型をねじった結果と一致する。
• 曲がった空間の一般化は、2つの微分同相なCalabi-Yau多様体の積を用い、O(d,d)計量がCalabi-Yau計量の複素化版に置き換えられる。
• マスター方程式の新しい解により、ゲージ固定フェルミオンの選択によってA型とB型モデルの間を滑らかに接続できる。これは、N=2作用のねじりでは得られない特徴である。
• 平坦極限における中間的ゲージ選択は、(∫_M Ω ∧ Ω̄)²に類似した量を計算し、数学的Hitchin汎関数との関係を示唆する。
• 形式的枠組みは、特に genus zero において|Z_A/B|²のWigner変換を通じてトポロジカルM理論との関係を示唆しているが、genus one では修正が必要である。