[論文レビュー] Les Houches lectures on matrix models and topological strings

Marcos Mariño|ArXiv.org|Oct 14, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 80被引用数 162

ひとこと要約

本稿は、行列モデルとトポロジカル弦理論の間に深い関係を確立し、特定のカラビ＝ヤウ多様体上のタイプBトポロジカル弦理論が行列モデルに等価であることを示した。これにより、行列モデルの手法を用いて非摂動的振幅を計算可能となる。主な結果は、3次元球面S³上のチェーン＝シンコス理論の自由エネルギーが、行列モデルによって正確に再現されることであり、ダイクグラーフ＝ヴァーファ対応を確認するとともに、トポロジカル弦理論における摂動的級数の再結合のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

In these lecture notes for the Les Houches School on Applications of Random Matrices in Physics we give an introduction to the connections between matrix models and topological strings. We first review some basic results of matrix model technology and then we focus on type B topological strings. We present the main results of Dijkgraaf and Vafa describing the spacetime string dynamics on certain Calabi-Yau backgrounds in terms of matrix models, and we emphasize the connection to geometric transitions and to large N gauge/string duality. We also use matrix model technology to analyze large N Chern-Simons theory and the Gopakumar-Vafa transition.

研究の動機と目的

• 特定のカラビ＝ヤウ背景上におけるタイプBトポロジカル弦理論と行列モデルの正確な対応関係を確立すること。
• ストリング場理論を用いて、トポロジカル弦理論におけるオルタナティブストリング振幅が、U(N)ゲージ理論に還元されることを示すこと。
• S³上のチェーン＝シンコス理論の摂動的展開が、行列モデルの手法によって正確に再結合可能であることを示すこと。
• 幾何的遷移と大N双対性が、オルタナティブストリングとクローズドストリングの背景を結ぶ役割を果たす仕組みを調査すること。
• 直交多項式と鞍点解析を用いた、トポロジカル弦理論の自由エネルギーを体系的に計算する手法を提供すること。

提案手法

• 行列モデルの鞍点解析を用いて、スぺクトル曲線を決定し、これにより基礎となるカラビ＝ヤウ多様体の幾何を記述する。
• 特にチェーン＝シンコス理論に現れるステイエルツ＝ウィーガート多項式を扱うために、直交多項式技法を適用する。
• ベルヌーイ数とポリログ関数を含む種数展開式を用いて、行列モデルの分配関数から自由エネルギー $ F_{g}(t) $ を導出する。
• リゾルベントからマスターフィールドを構成し、カラビ＝ヤウ幾何における幾何的遷移と関連付ける。
• トポロジカル弦理論のストリング場理論形式を用い、オルタナティブストリングのダイナミクスを、ファットグラフフェルミオン図を用いて計算可能なU(N)ゲージ理論に還元する。
• ダイクグラーフ＝ヴァーファ対応を適用し、N=1ゲージ理論における非摂動的セオリーの計算を摂動的行列モデル計算に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして行列モデルを用いて、タイプBトポロジカル弦理論におけるトポロジカル弦振幅を計算できるか？
• RQ2 幾何的遷移の文脈において、オルタナティブトポロジカル弦振幅と行列モデルとの正確な対応関係は何か？
• RQ3 S³上のチェーン＝シンコス理論の大N極限が行列モデルとどのように関係するか、そしてこれはその摂動的級数の再結合にどのような意味を持つのか？
• RQ4 どのようなカラビ＝ヤウ背景において、トポロジカル弦理論のストリング場理論がゲージ理論に還元されるのか？
• RQ5 直交多項式と鞍点法が、トポロジカル弦理論に関連する行列モデルにおける自由エネルギーの正確な計算をどのように可能にするか？

主な発見

• 3次元球面S³上のチェーン＝シンコス理論の種数gにおける自由エネルギーは、$ F^{CS}_{g}(t) = \frac{B_{2g}B_{2g-2}}{2g(2g-2)(2g-2)!} + \frac{B_{2g}}{2g(2g-2)!} \mathrm{Li}_{3-2g}(e^{-t}) $ で与えられ、既知の摂動的再結合結果と一致する。
• 種数0の自由エネルギーは、$ F^{CS}_{0}(t) = \frac{t^3}{12} - \frac{\pi^2 t}{6} - \mathrm{Li}_3(e^{-t}) + \zeta(3) $ であり、行列モデルから導出され、以前の計算と整合する。
• S³上のチェーン＝シンコス理論の行列モデルは、対数的ポテンシャルを有するガウス型行列モデルに等価であり、その直交多項式は正しいスぺクトル曲線を与える。
• 行列モデルから導出されたリゾルベントは、カットの端点と固有値の密度を正確に再現し、鞍点解の妥当性を確認する。
• 直交多項式の手法により、高種数振幅 $ F_g $ の正確な計算が可能となり、その結果はポリログ関数とベルヌーイ数の形で表現される。
• チェーン＝シンコス理論と行列モデルの対応関係は、解かれたコンパクト化されたコンパクトなカラビ＝ヤウ多様体上でのトポロジカル弦振幅の非摂動的計算のための枠組みを提供し、種数gにおけるクローズドストリングの結果と一致する。