[論文レビュー] Doubles for monoidal categories

Craig Pastro, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、モノイダル V-圏 𝒜 の '二重' と呼ばれるもの D𝒜 を、[D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜) による Tambara モジュールを分類するプロモノイダル V-圏として導入する。閉性を持つ 𝒜 に対しては、強および左強の Tambara モジュールを定義し、それらの圏が畳み込みモノイダル圏 [𝒜, V] の (lax) 中心と同値であることを示す。同様の同値性は、局所化された二重 Dₛ𝒜 および Dₗₛ𝒜 を通じて得られる。主な貢献は、豊かさ付き圏論における Tambara モジュール、中心、および二重の統一的枠組みの確立である。

ABSTRACT

In a recent paper, Daisuke Tambara defined two-sided actions on an endomodule (= endodistributor) of a monoidal V-category A. When A is autonomous (= rigid = compact), he showed that the V-category (that we call Tamb(A)) of so-equipped endomodules (that we call Tambara modules) is equivalent to the monoidal centre Z[A,V] of the convolution monoidal V-category [A,V]. Our paper extends these ideas somewhat. For general A, we construct a promonoidal V-category DA (which we suggest should be called the double of A) with an equivalence [DA,V] \simeq Tamb(A). When A is closed, we define strong (respectively, left strong) Tambara modules and show that these constitute a V-category Tamb_s(A) (respectively, Tamb_{ls}(A)) which is equivalent to the centre (respectively, lax centre) of [A,V]. We construct localizations D_s A and D_{ls} A of DA such that there are equivalences Tamb_s(A) \simeq [D_s A,V] and Tamb_{ls}(A) \simeq [D_{ls} A,V]. When A is autonomous, every Tambara module is strong; this implies an equivalence Z[A,V] \simeq [DA,V].

研究の動機と目的

• モノイダル V-圏に対する Tambara の自己双対的圏に関する結果を一般化し、Tambara モジュールを分類する普遍的対象を構成すること。
• 閉性を持つモノイダル V-圏の文脈において、強および左強の Tambara モジュールを定義し、それらを研究すること。
• 畳み込みモノイダル圏 [𝒜, V] の (lax) 中心が、局所化された二重 𝒟 に対して [𝒟, V] の関手圏と同値であることを示すこと。
• ドリンフェルトの二重、モノイダル中心、および豊かさ付き圏論におけるプロモノイダル構造を統一する圏論的枠組みを確立すること。

提案手法

• Tambara の自己双対的状況における同値性を一般化し、[D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜) を満たすプロモノイダル V-圏として二重 D𝒜 を構成する。
• 作用への整合性条件を用いて、モノイダル圏における中心性の概念を一般化し、強および左強の Tambara モジュールを定義する。
• D𝒜 の局所化 Dₛ𝒜 および Dₗₛ𝒜 を導入し、同値性 [𝒟ₛ𝒜, V] ≃ Tambₛ(𝒜) および [𝒟ₗₛ𝒜, V] ≃ Tambₗₛ(𝒜) を通じて [𝒜, V] の (lax) 中心をモデル化する。
• Day の畳み込みと、モノイダル構造とプロモノイダル構造の対応を用いて、braided および lax braided 構造を二重へと持ち上げる。
• V-自然性および V 内の対称性を活用し、V としての V-圏の中心が V 自身と同値であることを示し、構成の整合性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tambara の自己双対的圏における Tambara モジュールとモノイダル中心の同値性は、どのように一般のモノイダル V-圏へと拡張できるか？
• RQ2 モノイダル V-圏 𝒜 にどのような構造が備わっていると、その (lax) 中心が再び関手圏 [𝒟, V] と同値になるか？
• RQ3 任意のモノイダル V-圏 𝒜 に対して、[D𝒜, V] が Tambara モジュールを分類する普遍的 '二重' D𝒜 を構成できるか？
• RQ4 強および左強の Tambara モジュールは、畳み込みモノイダル圏 [𝒜, V] の (lax) 中心とどのように関係するか？

主な発見

• モノイダル V-圏 𝒜 の二重 D𝒜 は、[D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜) を満たすプロモノイダル V-圏であり、Tambara モジュールを分類する普遍的分類子を提供する。
• 閉性を持つ 𝒜 に対して、強 Tambara モジュールの圏 Tambₛ(𝒜) は中心 𝒪[𝒜, V] と同値であり、左強モジュールの圏 Tambₗₛ(𝒜) は lax 中心 𝒪ₗ[𝒜, V] と同値である。
• D𝒜 の局所化 Dₛ𝒜 および Dₗₛ𝒜 は、これらの同値性を実現し、[Dₛ𝒜, V] ≃ Tambₛ(𝒜) および [Dₗₛ𝒜, V] ≃ Tambₗₛ(𝒜) が成り立つ。
• 𝒜 が自己双対的であるとき、すべての Tambara モジュールが強であるため、𝒪[𝒜, V] ≃ [D𝒜, V] が成り立ち、Tambara の元の結果が特殊な場合として回復される。
• この構成により、D𝒜 及びその局所化は、lax braided および braided プロモノイダル構造を備え、Day の畳み込みに関して [𝒟, V] が閉モノイダル圏となる。