[論文レビュー] Doubly probabilistic representation for the stochastic porous media type equation

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元空間における乗法的色付きノイズを伴う確率的多孔質媒体方程式の解について、二重確率的表現を導入する。独立なブラウン運動によって駆動されるランダム係数を有する「法則に関する確率的微分方程式」を構築することで、解の法則と非線形拡散過程との間の関係を確立し、特異非線形性を有する無限体積におけるこのような方程式を分析するための新規な確率的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The purpose of the present paper consists in proposing and discussing a doubly probabilistic representation for a stochastic porous media equation in the whole space R^1 perturbed by a multiplicative coloured noise. For almost all random realizations $\\omega$, one associates a stochastic differential equation in law with random coefficients, driven by an independent Brownian motion.

研究の動機と目的

• 無限体積における乗法的色付きノイズを伴う確率的多孔質媒体方程式の確率的表現を開発すること。
• 従来の確定的状況における二重確率的手法を、ランダム係数を有する確率的設定へと拡張すること。
• 解の法則と、独立なブラウン運動によって駆動されるランダム係数を有する「法則に関する非線形SDE」との関係を確立すること。
• 特異非線形性と乗法的ノイズを有する状況において、$L^1(\mathbb{R})$ における解の分析のための枠組みを提供すること。
• 最小限の正則性仮定の下で、以前の確率的表現に関する結果を、退化および特異的ケースに一般化すること。

提案手法

• ほとんど至るところの $\omega$ に対して、独立なブラウン運動によって駆動されるランダム係数を有する「法則に関する確率的微分方程式」を関連付けることで、二重確率的表現を提案する。
• 確率的多孔質媒体方程式の解を、非線形「法則に関するSDE」を満たす過程 $Y_t$ の法則として定義する：$Y_t = Y_0 + \int_0^t \Phi(u(s,Y_s)) dB_s$、ここで $u(t,\cdot)$ は $Y_t$ の密度である。
• Tietzeの拡張定理を用いた正則化および近似スキームにより、ランダム場 $F$ の可測近似 $F_{n,k}$ を構築する。
• 近似測度 $Q^{\kappa_\ell}$ の系列を通じた弱収束の議論を適用し、期待値の収束を確立し、表現の正当性を検証する。
• ノイズの構造 $\mu(t,\xi) = \sum_{i=1}^N e^i(\xi)W^i_t + e^0(\xi)t$ を活用して、方程式における乗法的で色付きのノイズをモデル化する。
• 解のユニークネスを、$\psi$ のリプシッツ連続性および解の積分可能性条件といった弱い仮定のもとで証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的色付きノイズを伴う確率的多孔質媒体方程式に対して、$\mathbb{R}$ において二重確率的表現を構築できるか？
• RQ2 確率的PDEの解は、ランダム係数を有する「法則に関する非線形SDE」の法則としてどのように表現できるか？
• RQ3 このような確率的表現の存在および一意性が、無限体積設定で保証されるための条件は何か？
• RQ4 この手法は、確定的状況からランダム係数を有する確率的設定へと、どのように従来の結果を拡張するか？
• RQ5 ランダム場 $\mu(t,\xi)$ は、解の確率的構造にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{R}$ における乗法的色付きノイズを伴う確率的多孔質媒体方程式に対して、二重確率的表現を確立し、解の法則とランダム係数を有する「法則に関する非線形SDE」との関係を確立した。
• ほとんど至るところの $\omega$ に対して、解は、$B$ がノイズと独立なブラウン運動であるとき、$Y_t = Y_0 + \int_0^t \Phi(u(s,Y_s)) dB_s$ を満たす過程 $Y_t$ の法則として表現される。
• 本手法は、Tietzeの拡張定理によるランダム場の可測近似と、測度の弱収束の議論を活用し、表現の正当性を裏付けている。
• 解のユニークネスは、最小限の仮定のもとで証明された：$\psi$ はリプシッツ連続であり、解は $\mathbb{E}\left[\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} X^2(s,\xi) d s d \xi\right] < \infty$ を満たす。
• 従来の確定的確率的表現の結果を、退化および特異的ケースを含む確率的状況へと拡張した。
• この枠組みは、$\psi$ が非負の $u$ に対して $\psi(u) = \Phi^2(u)u$ を満たす非退化および退化ケースの両方へ適用可能であり、$\psi$ が $\mathbb{R}_+$ 上で連続的かつ単調増加であることを許容する。