[論文レビュー] Drinfeld-Hecke algebras over cocommutative algebras

Apoorva Khare|arXiv (Cornell University)|May 15, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、余代数的代数 A と対称代数 Sym(V) からなるスモーズ積代数の変形族を導入する。ここで V は A-加群である。群的代数（例えば群環や nilCoxeter 代数を含む）の PBW 性質とヤコビ恒等式を特徴づけ、A がホップ代数である場合には、PBW 変形がホップ代数にもなる条件を同定する。

ABSTRACT

If A is a cocommutative algebra with coproduct, then so is the smash product algebra of a symmetric algebra Sym(V) with A, where V is an A-module. Such smash product algebras, with A a group ring or a Lie algebra, have families of deformations that have been studied widely in the literature; examples include symplectic reflection algebras and infinitesimal Hecke algebras. We introduce a family of deformations of these smash product algebras for general A, and characterize the PBW property. We then characterize the Jacobi identity for "grouplike" algebras (that include group rings and the nilCoxeter algebra), and precisely identify the PBW deformations in the example where A is the nilCoxeter algebra. We end with the more prominent case - where A is a Hopf algebra. We show the equivalence of several versions of the "deformed" relations in the smash product, and identify the PBW deformations which are Hopf algebras as well.

研究の動機と目的

• cocommutative 代数 A に対して、既知の対称代数スモーズ積の変形（例えばシンプレクティック反射代数や無限小ヘッケ代数）を、一般の cocommutative 代数 A にまで一般化すること。
• 一般の cocommutative 代数 A に対して、Sym(V)#A の変形における PBW 性質を特徴づけること。
• 特に群的代数（群環や nilCoxeter 代数を含む）に対して、変形された関係式がヤコビ恒等式を満たす条件を同定すること。
• A がホップ代数である場合に、PBW 変形されたスモーズ積が自身でホップ代数である条件を同定すること。
• スモーズ積代数における変形関係式の異なる定式化を統一し、ホップ代数構造の下でそれらの同値性を確立すること。

提案手法

• A が cocommutative 代数で、V が A-加群であるようなスモーズ積代数 Sym(V)#A の変形を構成する。
• PBW 判別法を適用して、変形された代数において Poincaré-Birkhoff-Witt 型の基底を保存する条件を特徴づける。
• A のコプロダクト構造を用いて、'群的'代数の場合の変形関係式におけるヤコビ恒等式を分析する。
• nilCoxeter 代数を重要な例として用い、ヤコビ恒等式を満たす PBW 変形を明確に同定する。
• A がホップ代数である場合に、スモーズ積における変形関係式の複数の表現の同値性を確立する。
• PBW 変形された代数がホップ代数構造を引き継ぐ条件を、A の cocommutativity とコプロダクトの整合性を活用して同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スモーズ積代数 Sym(V)#A の変形が Poincaré-Birkhoff-Witt 性質を満たすための条件は何か？
• RQ2 特に '群的' なクラス（群環や nilCoxeter 代数を含む）の cocommutative 代数 A に対して、変形された関係式がヤコビ恒等式を満たすのはどのような場合か？
• RQ3 A が nilCoxeter 代数である場合に、Sym(V)#A の PBW 変形を明示的に特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ4 A がホップ代数である場合に、PBW 変形されたスモーズ積が自身でホップ代数である条件は何か？
• RQ5 スモーズ積代数における変形関係式の異なる定式化どうしがどのように関係し、どのような条件下で同値となるか？

主な発見

• 論文は、A が cocommutative である場合のスモーズ積代数 Sym(V)#A に対する PBW 変形の一般的特徴づけを提供する。
• 特に '群的' な代数（群環や nilCoxeter 代数を含む）の場合に、変形された関係式がヤコビ恒等式を満たすための明確な条件を同定する。
• A が nilCoxeter 代数である場合、ヤコビ恒等式を満たす PBW 変形を明示的に同定する。
• A がホップ代数である場合、スモーズ積代数における変形関係式の複数の表現が同値であることを確立する。
• PBW 変形された代数が自身でホップ代数である条件を特徴づけ、ホップ代数の文脈における構造的分類を提供する。
• 既知の例（シンプレクティック反射代数や無限小ヘッケ代数）を、より広い cocommutative なベース代数のクラスへ一般化する結果を得る。