[論文レビュー] Combinatorial Hopf algebras

Jean-Louis Loday, Marı́a Ronco|ArXiv.org|Oct 2, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 55被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、可換的または余自由なホップ代数に、分解不能元上の自由代数（または原始的元上の余自由コールバック）への標準的同型が備わった組合せ的ホップ代数（CHAs）を導入し、このような構造が、ホップ代数の性質に応じて、原始的元上により細かい代数的構造（例えば、前リーマン、ブラケット、マルチブラケット代数など）を誘導することを明らかにする。主な貢献は、CHAsを分類する良好なオペラッド三つ組（例：(Ass, Dipt, MB)）の同定であり、これにより、コンネス＝クライマー代数やK理論、量子場理論に関連する多様な組合せ的ホップ代数が統一的に扱えるようになる。

ABSTRACT

We define a "combinatorial Hopf algebra" as a Hopf algebra which is free (or cofree) and equipped with a given isomorphism to the free algebra over the indecomposables (resp. the cofree coalgebra over the primitives). The choice of such an isomorphism implies the existence a finer algebraic structure on the Hopf algebra and on the indecomposables (resp. the primitives). For instance a cofree-cocommutative right-sided combinatorial Hopf algebra is completely determined by its primitive part which is a pre-Lie algebra. The key example is the Connes-Kreimer Hopf algebra. The study of all these combinatorial Hopf algebra types gives rise to several good triples of operads. It involves the operads: dendriform, pre-Lie, brace, and variations of them.

研究の動機と目的

• 組合せ的ホップ代数（CHAs）を、分解不能元上の自由代数（または原始的元上の余自由コールバック）への標準的同型を備えた余自由または自由なホップ代数として形式化すること。
• 右側性や余自由性などの特定の条件下で、CHAsの原始的元（または分解不能元）上に現れるより細かい代数的構造（例：前リーマン、ブラケット、マルチブラケット）を解明すること。
• CHAsを、良いオペラッド三つ組を通じて分類し、原始的元上の代数的構造と全体のホップ代数構造が、オペラッド的関係によって支配されることを示すこと。
• コンネス＝クライマーのホップ代数や、K理論、量子場理論に関連する構成（例）を、それらの背後にあるオペラッド的および代数的枠組みを特定することで一般化すること。

提案手法

• 組合せ的ホップ代数を、分解不能元上の自由代数（または原始的元上の余自由コールバック）への選択された同型を備えた余自由または自由なホップ代数として定義し、これにより原始的元上により豊かな代数的構造が誘導されることを示す。
• 次数付き双対性を用いて、自由可換CHAsを余自由余可換なものと関連づけ、詳細な分析には余自由の場合に焦点を当てる。
• 右側性を満たす余自由余可換CHAsの原始的部品が前リーマン代数であることを特徴づけ、一般に、余自由でコassociativeなCHAsの原始的部品がマルチブラケット代数（MB代数）であることを示す。
• マルチブラケット代数R上のテンソルコールバック$ T^c(R) $が自然にホップ代数構造を持つこと、および$ Dipt(V) \to T^c(MB(V)) $が同型であることの確立により、オペラッドDiptとMBを結びつける。
• 良好なオペラッド三つ組$ ({\rm C}, {\rm A}, {\rm P}) $、例えば$ (Com, ComAs, SBrace) $を同定し、$ {\rm C} $が代数的構造を、$ {\rm A} $がホップ代数を、$ {\rm P} $が原始的部品を支配し、$ {\rm A} \to {\rm C} \bullet {\rm P} $を満たすようにする。
• 線形順序付き単純グラフのホップ代数$ H_l(\tilde{\bf G}_0) $などの例を構成し、連結グラフ分解と順序制約を用いてそのマルチブラケット構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンネス＝クライマー代数のような例で観察される構造的豊かさを捉えるために、組合せ的ホップ代数の概念をどのように形式化できるか？
• RQ2 CHAsにおける同型の選択が、特に右側性や余自由性の下で、原始的元（または分解不能元）上に誘導するより細かい代数的構造は何か？
• RQ3 さまざまなCHAsのタイプ（例：余自由でコassociative、余可換、右側性）において、原始的元上の代数的構造と全体のホップ代数構造を支配するオペラッドは何か？
• RQ4 CHAsの分類を、良好なオペラッド三つ組$ ({\rm C}, {\rm A}, {\rm P}) $を通じて統一できるか？また、各CHAsタイプに対して具体的なオペラッドは何か？
• RQ5 オペラッドの合成が、原始的元から全体のホップ代数への構造の持ち上げに果たす役割は何か？また、一般化されたバイアルゲブラへとどのように一般化できるか？

主な発見

• 余自由で余可換かつ右側性を満たす組合せ的ホップ代数は、その原始的部品によって完全に決定され、その部品は前リーマン代数構造を持つ。
• 余自由でコassociativeなCHAsの原始的部品はマルチブラケット代数（MB代数）であり、任意のMB代数は$ T^c(R) $上にホップ代数構造を誘導する。さらに、$ Dipt(V) \to T^c(MB(V)) $は同型である。
• コンネス＝クライマーのホップ代数は、コプロダクトが右側形式を取る組合せ的ホップ代数の代表例であり、その分解不能元は前リーマンコールバック構造を持つ。
• 線形順序付き単純グラフの同型類のホップ代数$ H_l(\tilde{\bf G}_0) $は、余自由で余可換なCHAsであり、連結グラフ分解と順序制約によって定義されるマルチブラケット構造を持つ。
• 余可換で右側性を満たす場合に、$ (Com, ComAs, SBrace) $という良好なオペラッド三つ組が同定され、$ SBrace $は前リーマンオペラッドと同型である。
• 本稿では、$ {\bf X} \to Com \bullet PreLie $を満たすオペラッド$ {\bf X} $の存在を予想し、余可換で右側性を満たすCHAsのケースにおけるオペラッド的構造を一般化する。