[論文レビュー] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part I: Analytic Theory

Dirk Basson, Florian Breuer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、任意のランク $ r \geq 1 $ のドリンフェルトモジュラー形式の解析的基盤を確立し、弱モジュラー形式の $ u $-展開を導入し、ランク $ r-1 $ の弱モジュラー形式の係数を用いて無限遠での正則性を定義する。主な貢献は、無限遠での正則性の明確な基準を確立することであり、これは高ランクにおけるドリンフェルトモジュラー形式の定義を可能にし、その後続の研究における有限次元性の結果および代数的幾何的同定を切り開く。

ABSTRACT

This is the first of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank r. In the present part, we develop the analytic theory. Most of the work goes into defining and studying the u-expansion of a weak Drinfeld modular form, whose coefficients are weak Drinfeld modular forms of rank r-1. Based on that we give a precise definition of when a weak Drinfeld modular form is holomorphic at infinity and thus a Drinfeld modular form in the proper sense.

研究の動機と目的

• 任意のランク $ r \geq 1 $ におけるドリンフェルトモジュラー形式の解析理論を構築し、ランク2の理論を高ランクに拡張すること。
• 係数がランク $ r-1 $ の弱モジュラー形式である、弱ドリンフェルトモジュラー形式の $ u $-展開を定義し、研究すること。
• 無限遠での正則性の明確な解析的基準を確立し、ドリンフェルトモジュラー形式と弱モジュラー形式を区別すること。
• その後続の研究において、解析的モジュラー形式をコンパクト化されたモジュライ空間上の可逆層の切断と代数的幾何的に同定する基盤を築くこと。
• シーゲルモジュラー形式とは異なり、高ランクの場合には無限遠での正則性が自動的でないという微妙な点を解消すること。

提案手法

• 弱ドリンフェルトモジュラー形式を、算術的部分群 $ \Gamma < \mathrm{GL}_r(F) $ に対して変換する、ドリンフェルト周期領域 $ \Omega^r $ 上の正則関数として定義する。
• 標準的境界成分付近の座標系を用いて、弱モジュラー形式の $ u $-展開を導入し、その係数をランク $ r-1 $ の弱モジュラー形式の値として持つ。
• 無限遠での正則性を、$ u $-展開に非負の $ u $ のべきのみを含むこととして特徴づけ、モジュラー形式の空間の有限次元性を保証する。
• 体 $ \mathbb{C}_\infty $ の強離散部分群に関連する指数関数と $ \Omega^r $ の剛体解析的構造を用いて、収束性および変換性を分析する。
• $ u $-展開の負の次数係数の消えることと、無限遠での正則性が同値であることを示し、境界成分の構造および $ \mathrm{GL}_r(F) $-平行移動を用いる。
• モジュラー形式における $ \mathrm{GL}_r(F) $ の作用、特に $ \delta \in \mathrm{GL}_r(F) $ の右作用に関する変換法則および不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルトモジュラー形式の文脈において、ランク2から任意のランク $ r \geq 3 $ への無限遠での正則性の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 高ランクにおける弱ドリンフェルトモジュラー形式の $ u $-展開の明確な解析的構造は何か。その係数は、より低いランクのモジュラー形式とどのように関係するか。
• RQ3 モジュライ空間がアフィン的であるにもかかわらず、高ランクドリンフェルトモジュラー形式の空間の有限次元性を保証するために無限遠での条件が必要なのはなぜか。
• RQ4 $ u $-展開は、ドリンフェルト代数のコンパクト化されたモジュライ空間とどのように関係するか。
• RQ5 弱モジュラー形式が実際にドリンフェルトモジュラー形式（すなわち、無限遠で正則）であるための条件は何か。

主な発見

• 弱ドリンフェルトモジュラー形式の $ u $-展開の係数は、ランク $ r-1 $ の弱モジュラー形式であり、ランク間で再帰的な構造を提供する。
• 弱モジュラー形式が無限遠で正則であるための必要十分条件は、$ u $-展開に非負の $ u $ のべきのみを含むことである。これによりドリンフェルトモジュラー形式の空間が定義される。
• $ r \geq 3 $ の場合、重さ $ k $ のモジュラー形式の $ u $-展開における係数 $ f_n $ は、重さ $ k - n $ の弱モジュラー形式であり、$ r-1 \geq 2 $ のとき、負の重さの形式は恒等的に消える。
• 与えられたレベルおよび重さのモジュラー形式の空間は、無限遠での正則性条件およびモジュライ空間のコンパクト化の結果、有限次元である。
• 重さ $ k $ およびタイプ $ m $ の非零モジュラー形式が存在するための必要条件は $ k \equiv rm \pmod{q-1} $ であり、$ m \not\equiv 0 \pmod{q-1} $ のとき、すべてのこのような形式はカスプ形式である。
• モジュラー形式の環 $ \mathcal{M}_*(\Gamma) $ は重さで分類され、重さ $ k, k' $ の2つのモジュラー形式の積は重さ $ k + k' $ のモジュラー形式を生成する。