[論文レビュー] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part II: Comparison with Algebraic Theory

Dirk Basson, Florian Breuer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Rings, Modules, and Algebras被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Drinfeld 模型空間のSatakeコンパクト化を用いて、任意のランクにおける解析的Drinfeldモジュラー形式と代数的モジュラー形式の同型を確立し、任意の算術的合同部分群および整数重みに対してモジュラー形式の空間が有限次元であることを証明する。この結果により、正標数におけるモジュラー形式の解析的理論と代数的理論が統合される。

ABSTRACT

This is the second of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank. In the present part, we compare the analytic theory with the algebraic one that was begun in a paper of the third author. For any arithmetic congruence subgroup and any integral weight we establish an isomorphism between the space of analytic modular forms with the space of algebraic modular forms defined in terms of the Satake compactification. From this we deduce the important result that this space is finite dimensional.

研究の動機と目的

• 任意のランクにおける解析的Drinfeldモジュラー形式と代数的モジュラー形式の明確な対応関係を確立すること。
• Drinfeldモジュラー形式の理論における解析的構成と代数幾何学の間の基礎的ギャップを解消すること。
• Satakeコンパクト化を用いて、固定レベルおよび重みのモジュラー形式の空間が有限次元であることを証明すること。
• Gossの学位論文における結果をランク2に限らず、任意のランクr ≥ 2に一般化すること。
• 代数的モジュライ空間の文脈において、解析的モジュラー形式上のヘッケ作用素を定義し、それらを研究すること。

提案手法

• rigid analyticなDrinfeld周期領域Ω^r上でのDrinfeld加法群の普遍族を構成し、境界成分を含むより大きな領域上での一般化されたDrinfeld加法群に拡張すること。
• モジュライ空間MのSatakeコンパクト化を用いて、線束Lをコンパクト化空間M̄に拡張し、解析的モジュラー形式を代数化すること。
• 無限遠点における正則性条件を用いて、重みkの解析的Drinfeldモジュラー形式をコンパクト化モジュライ空間M̄上のL^kの全体切断と同一視すること。
• M̄の射影的性質を用いて、H⁰(M̄, L^k)とモジュラー形式の空間が同型であることを証明し、有限次元性を導出すること。
• GL_r(F)における二重コセットを介して、解析的モジュラー形式上のヘッケ作用素を定義し、代数的ヘッケ作用と整合することを示すこと。
• 代数的ヘッケ作用素T_hが、体拡張上のトレース写像を経て、解析的ヘッケ作用素T_δの和に分解されることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のランクにおける解析的Drinfeldモジュラー形式は、どのように代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 解析的モジュラー形式の空間と、Satakeコンパクト化上の切断の代数的空間との間の正確な関係は何か？
• RQ3 固定レベルおよび重みのDrinfeldモジュラー形式の空間は、高ランクにおいても有限次元のままであるか？
• RQ4 解析的側のヘッケ作用素と、モジュライ空間上の代数的対応物との関係は何か？
• RQ5 Satakeコンパクト化を用いて、Drinfeldモジュラー形式の無限遠点における正則性条件を代数化できるか？

主な発見

• 任意の算術的合同部分群Γおよび重みkに対して、解析的Drinfeldモジュラー形式の空間は、M̄（モジュライ空間MのSatakeコンパクト化）上のH⁰(M̄, L^k)と同型である。
• M̄の射影的性質とL^kの整合性から、固定レベルおよび重みのモジュラー形式の空間が有限次元であることが従う。
• 固定Γに対するモジュラー形式の総体は、C_∞-代数として有限生成である正規整域である。
• GL_r(F)における二重コセットを介して、解析的モジュラー形式上のヘッケ作用素は適切に定義され、体拡張上のトレース写像を経て代数的ヘッケ作用と一致する。
• モジュライ空間の成分の定義体が拡張されるとき、代数的ヘッケ作用素T_hは、解析的ヘッケ作用素T_δの和に分解され、その後にトレース写像が作用する。
• 理論は解析的および代数的アプローチを統合し、Gossのランク2の結果を任意のランクr ≥ 2に拡張する。