[論文レビュー] Dual attainment for the martingale transport problem

Mathias Beiglboeck, Tongseok Lim+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元のマーティングル最適輸送問題における双対達成の十分条件を確立し、コスト関数 $ c(x,y) $ が $ y $ に関して凸である、あるいは凸関数に等しい場合に、点ごとの双対最大化子が存在することを証明する。主な結果として、コンパクトに台を持つ周辺分布を伴う $ C^2 $-正則なコスト関数に対して双対達成が成り立つことが示され、この正則性の閾値は鋭いことが判明しており、$ C^{2-\varepsilon} $-正則なコストでは失敗する。さらに、コスト関数がリプシッツ連続で周辺分布がコンパクトに台を持つ場合、双対最適化子がリプシッツ連続であることも証明されている。

ABSTRACT

We investigate existence of dual optimizers in one-dimensional martingale optimal transport problems. While [BNT16] established such existence for weak (quasi-sure) duality, [BHP13] showed existence for the natural stronger pointwise duality may fail even in regular cases. We establish that (pointwise) dual maximizers exist when $y\mapsto c(x,y)$ is convex, or equivalent to a convex function. It follows that when marginals are compactly supported, the existence holds when the cost $c(x,y)$ is twice continuously differentiable in $y$. Further, this may not be improved as we give examples with $c(x,\cdot)\in C^{2-ε}$, $ε>0$, where dual attainment fails. Finally, when measures are compactly supported, we show that dual optimizers are Lipschitz if $c$ is Lipschitz.

研究の動機と目的

• 1次元マーティングル最適輸送における点ごとの双対達成の未解決問題を解決すること。ここでの先行研究では、一般には失敗することが示されている。
• 双対最大化子が存在するようなコスト関数 $ c(x,y) $ に対する鋭い正則性条件を同定すること。
• 周辺分布がコンパクトに台を持つ場合に、$ c(x,\cdot) $ が $ C^2 $-正則であることは、双対達成に十分であり、かつ最適であることを確立すること。
• 双対最適化子の正則性を調査し、コスト関数がリプシッツ連続で周辺分布がコンパクトに台を持つ場合、双対最適化子がリプシッツ連続であることを示すこと。
• 双対達成が $ C^{2-\varepsilon} $-コストで失敗する反例を構築することで、正則性条件の鋭さを確立すること。

提案手法

• 凸解析と双対理論を用いて、マーティングル最適輸送における双対問題を特徴づけ、点ごとの不等式に焦点を当てる。
• 点列 $ y_n $ が極限 $ y_\infty $ に収束するような明示的反例の構成。このとき双対関数 $ g(y_\infty) = -\infty $ となり、可積分性が破られる。
• 凹関数の解析と級数の発散に関する議論を用いて、$ c(x,y) = -|x-y|^r $（$ r < 2 $）の場合に $ g(y_\infty) = -\infty $ であることを示す。
• 測度の分解と接するマーティングルカップリングを用いて、$ C^2 $-コストおよびリプシッツコストに対して双対最大化子を構成する。
• $ f(x) + h(x)(y-x) \leq c(x,y) $ の点ごとの不等式を用い、$ x $ に関する下界を取って $ g(y) $ を定義することで、双対妥当性を保証する。
• コンパクトな台を持つ条件下で、$ g $ がリプシッツ関数の点ごとの下界であることを示すことで、双対最適化子のリプシッツ正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数 $ c(x,y) $ に対してどのような条件下で、マーティングル最適輸送問題における点ごとの双対最大化子が存在するか？
• RQ2 $ c(x,\cdot) $ が $ C^2 $-正則であることは、周辺分布がコンパクトに台を持つ場合に双対達成に十分か？
• RQ3 $ C^2 $-正則性条件を弱めることは可能か、あるいはこれは鋭いか？
• RQ4 コスト関数がリプシッツ連続であれば、双対最適化子の正則性もリプシッツ連続になるか？
• RQ5 双対達成が $ C^{2-\varepsilon} $-コストで失敗する反例を構築できるか？

主な発見

• コスト関数 $ y \mapsto c(x,y) $ が凸である、あるいは凸関数に等しい場合、点ごとの双対性が保証され、双対最大化子が存在する。
• 周辺分布がコンパクトに台を持つ場合、$ c(x,\cdot) $ が $ C^2 $-正則であれば双対達成が成り立つ。これは $ c(x,\cdot) $ が $ y $ に関して局所的に $ C^2 $-滑らかで凸であるためである。
• $ C^2 $-正則性条件は鋭い。任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ C^{2-\varepsilon} $-正則なコスト関数とコンパクトに台を持つ周辺分布を伴う例で、双対達成が失敗することが存在する。
• コスト関数 $ c $ がリプシッツ連続で周辺分布がコンパクトに台を持つ場合、双対最適化子 $ g $ はリプシッツ連続である。
• $ c(x,y) = -|x-y|^r $（$ 1 < r < 2 $）の場合、$ g(y_\infty) = -\infty $ となる反例が存在し、可積分性が破れることから双対達成が失敗することが示される。
• $ C^{2-\varepsilon} $-ケースにおける双対達成の失敗は、支持関数の勾配の差の級数の発散を用いて示される。