[論文レビュー] Dual control Monte Carlo method for tight bounds of value function under Heston stochastic volatility model

Jingtang Ma, Wenyuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の効用関数を伴うHestonの stochastic volatility モデルにおける効用最大化問題の価値関数に対して、タイトな下界と上界を計算するためのデュアルコントロール・モンテカルロ法を提案する。特定のデュアルコントロール形式 γₜ = c(t)√vₜ を活用することで、パワーユーティリティ、非HARA型ユーティリティ、Yarriユーティリティに対し、閉形式の上界が得られ、非アフィン型ユーティリティに対しても、小さなデュアルギャップで高い精度と効率性を達成する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the fast computation of the lower and upper bounds on the value function for utility maximization under the Heston stochastic volatility model with general utility functions. It is well known there is a closed form solution of the HJB equation for power utility due to its homothetic property. It is not possible to get closed form solution for general utilities and there is little literature on the numerical scheme to solve the HJB equation for the Heston model. In this paper we propose an efficient dual control Monte Carlo method for computing tight lower and upper bounds of the value function. We identify a particular form of the dual control which leads to the closed form upper bound for a class of utility functions, including power, non-HARA and Yarri utilities. Finally, we perform some numerical tests to see the efficiency, accuracy, and robustness of the method. The numerical results support strongly our proposed scheme.

研究の動機と目的

• 一般の効用関数を伴うHestonのstochastic volatility モデルにおける、高次元かつ非線形なHJB方程式を効率的に解くための数値的手法の不足に対処すること。
• 閉形式解が得られない場合に、信頼性の高い下界と上界を計算するための計算効率の良いアプローチを開発すること。
• パワーユーティリティ、非HARA型、Yarriユーティリティを含む広範なクラスの効用関数に対して、上界の解析的取り扱いを可能にする特定のデュアルコントロール構造を同定すること。
• 複数のユーティリティタイプとパrameterセットに対して、広範な数値実験を通じて、提案手法のロバストネス、精度、および効率性を示すこと。

提案手法

• 弱双対性を用いて、デュアルコントロール問題による上界と、実行可能プライマル制御による下界を導出し、プライマル価値関数のタイトな境界を形成する。
• パワーユーティリティ、非HARA型、Yarriユーティリティに対し、閉形式の上界が得られるように、特定のデュアルコントロール形式 γₜ = c(t)√vₜ（c(t)は区分定数）を導入する。
• 上界は10,000本のパスと100ステップの時間分割を用いたモンテカルロシミュレーションで計算され、下界は100,000本のパスと100ステップの時間分割を用いる。
• Yarriユーティリティの場合、Hestonモデルのアフィン構造を活用し、Fourier-cosine法を用いて上界の計算を高速化する。
• デュアルコントロールパラメータcのサンプリング戦略として、[−0.5, 0.5]に一様分布するcを用い、ロバストネスとパフォーマンス最適化を検証する。
• 数値的妥当性の検証には、富、分散、ボラティリティ・オブ・ボラティリティなどのパラメータを変化させた複数の例において、境界の比較を行い、精度と収束性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の効用関数を伴うHestonモデルにおける価値関数に対して、タイトな下界と上界を効率的に計算できるデュアルコントロール・モンテカルロ法を設計できるか？
• RQ2 Hestonモデル下で、デュアルコントロール γₜ = c(t)√vₜ を採用することで、非HARA型およびYarriユーティリティに対し、解析的に取り扱える上界が得られるか？
• RQ3 下界と上界のギャップは、サンプリングパス数や時間ステップ数にどのように依存するか？また、それを効率的に最小化できるか？
• RQ4 提案手法は、金利、ボラティリティの平均回帰速度、相関係数などのパrameterセットが多様な状況においてもロバストであるか？

主な発見

• Yarriユーティリティの場合、20回のサンプリング時刻を用いた γₜ = c√vₜ では、下界と上界の相対差がたった0.112%にとどまり、非常にタイトな境界であることが示された。
• 20回のサンプリング時刻を用いることで、境界間の平均相対差は0.434%に低下し、平均絶対差は5.8369×10⁻³にまで低下した。これは一貫した精度を示している。
• Fourier-cosine法を用いた上界計算は、純粋なモンテカルロ法よりも著しく高速であり、γₜ = c√vₜ の場合、UB計算時間は0.248秒にまで短縮された。
• 100,000本のパスを用いた下界計算には約2.37×10³秒を要したが、10,000本のパスを用いた上界計算ではわずか6.08秒で完了した。これにより、計算の効率性が明確に示された。
• 10個のランダムに抽出されたパラメータセットに対して、平均相対差が0.5%未満に保たれるなど、κ, θ, ρ, ξ などのパラメータを現実的な範囲で変化させても、手法はロバストであることが確認された。
• 最適戦略と最終期間の富の分布の3次元可視化により、確率的ボラティリティ下での複雑な動的行動を本手法が的確に捉えられることを確認した。