[論文レビュー] Dual loop quantizations of 3d gravity

Clement Delcamp, Laurent Freidel+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 49被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、3次元重力の二重ループ量子化を提案する。平坦性制約は、SU(2)群変数でラベル付けされた群ネットワーク基底を介して微視的に課され、ゴース全制約はダイクグラーフ＝ウィッテンモデルに関連する射影子を用いて動的に満たされる。主な貢献は、標準ループ量子重力（LQG）とは対照的に、基底状態が平坦で非退化した幾何にピークするが、励起状態が質量を持つ粒子に対応する、補完的量子表現の構築である。これは、通常のLQGが量子幾何とスピン励起に注目するのとは対照的である。

ABSTRACT

The loop quantization of 3d gravity consists in defining the Hilbert space of states satisfying the Gauß constraint and the flatness constraint. The Gauß constraint is enforced at the kinematical level by introducing spin networks which form a basis for the Hilbert space of gauge invariant functionals. The flatness constraint is implemented at the dynamical level via the Ponzano-Regge state-sum model. We propose in this work a dual loop quantization scheme where the role of the constraints is exchanged. The flatness constraint is imposed first via the introduction of a new basis labeled by group variables, while the Gauß constraint is implemented dynamically using a projector which is related to the Dijkgraaf-Witten model. We discuss how this alternative quantization program is related to 3d teleparallel gravity.

研究の動機と目的

• 標準ループ量子重力の方法とは逆転させた量子化順序を3次元重力で探求すること。特に、ゴース全制約がもはや微視的でなくなること。
• 平坦性制約がSU(2)群変数を用いて微視的に実装される、群ネットワークでラベル付けされた新しいヒルベルト空間基底を構築すること。
• この二重量子化を、テレパラレル重力とダイクグラーフ＝ウィッテンのトポロジカル場理論と関連づけること。特に、動的射影子を通じて関連づけること。
• 標準LQGとこの新しい枠組みとの間の双対性を、ヒルベルト空間構造と物理的励起の観点から明確にすること。
• 非正規化可能な真空状態と分配関数の発散の意味を検討し、量子測度としての再解釈を示唆すること。

提案手法

• SU(2)群要素でラベル付けされた、新しい微視的基底「群ネットワーク」を導入する。これはホロノミー演算子を対角化し、SU(2)群変数を用いて微視的に平坦性を実装する。
• ゴース全制約を、自明な3次コサイクルを持つダイクグラーフ＝ウィッテンモデルに同型な射影子を用いて動的に実装し、ゲージ不変性を保証する。
• 物理的ヒルベルト空間を、この射影子が群ネットワーク状態に作用した像として構成し、並進不変性を達成する。
• 接合操作の代数的構造を解析し、群ネットワーク代数がSU(2)上の関数のアーベル代数に同型であり、スピンネットワーク代数と双対的であることを示す。
• 完全な代数的構造を、ドリンフェルト代数 D(SU(2)) = ℂ[SU(2)] ⊗ F[SU(2)] として特定し、二重量子化スキーム間の双対性を確立する。
• ダイナミクスをポンツァーノ＝レグレ状態和モデルと関連づけ、分配関数の発散が病理的ではなく、量子測度の行動を示す指標であると議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦性を最初に、ゴース全を後に課す制約の順序を入れ替えると、3次元重力の量子表現にどのような影響を与えるか？
• RQ2 平坦性制約が群ネットワーク状態を介して微視的に課された場合、ヒルベルト空間の構造はいかなるものか？
• RQ3 この二重量子化スキームは、テレパラレル重力とダイクグラーフ＝ウィッテンモデルとどのように関連するか？
• RQ4 群ネットワーク基底とスピンネットワーク基底の間の代数的双対性は何か？また、これはSU(2)のドリンフェルト代数とどのように関係するか？
• RQ5 この二重量子化フレームワークにおいて、分配関数の発散はどのように解釈すべきか？

主な発見

• 群ネットワーク基底は、平坦性がSU(2)群変数を用いて微視的に実装される微視的ヒルベルト空間を提供し、基底状態は平坦で非退化した幾何にピークする。
• ゴース全制約は、自明な3次コサイクルを持つダイクグラーフ＝ウィッテンモデルに同型な射影子を用いて動的に実装され、標準LQGとは異なる量子表現をもたらす。
• 物理的状態は、自然な局所的励起が質量励起（スピンのない粒子として解釈される）であるヒルベルト空間を形成する。これは、標準LQGにおけるスピン励起とは対照的である。
• 群ネットワーク基底における接合操作の代数は、SU(2)上の関数のアーベル代数に同型であり、スピンネットワーク代数と双対的である。この構造はドリンフェルト代数 D(SU(2)) を形成する。
• 真空状態は非正規化可能であり、分配関数が標準的経路積分ではなく、量子測度として再解釈されるべきであることを示唆する。これはポンツァーノ＝レグレモデルの振る舞いと整合的である。
• 二重量子化スキーム間の双対性はユニタリ写像によって実現されると予想され、全構造はドリンフェルト代数の双対性と、SU(2)とD(SU(2))の6j記号の関係に根ざしている。