[論文レビュー] Duality Defect of the Monster CFT

Ying-Hsuan Lin, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モンスター conformal field theory (CFT) における双対性デフェクト線を特定・特徴づけ、それがモンスター CFT の $\mathbb{Z}_{2A}$ 対称性下でのフェルミオン化によって生じることを示している。双対性デフェクトは非可逆的であり、モジュラー $S$-双対性変換に関連しており、そのデフェクトヒルベルト空間の分配函数は、'Beauty and the Beast' として知られる $\mathcal{N}=1$ スーパーヒルベルト場理論と一致する。本研究は、トポロジカルなデフェクトを通じてモノスターマウンシャインを物理的に実現し、頂点演算子代数とフェルミオン的 CFT の間の接続を確立する。

ABSTRACT

We show that the fermionization of the Monster CFT with respect to $\mathbb{Z}_{2A}$ is the tensor product of a free fermion and the Baby Monster CFT. The chiral fermion parity of the free fermion implies that the Monster CFT is self-dual under the $\mathbb{Z}_{2A}$ orbifold, i.e. it enjoys the Kramers-Wannier duality. The Kramers-Wannier duality defect extends the Monster group to a larger category of topological defect lines that contains an Ising subcategory. We introduce the defect McKay-Thompson series defined as the Monster partition function twisted by the duality defect, and find that the coefficients can be decomposed into the dimensions of the (projective) irreducible representations of the Baby Monster group. We further prove that the defect McKay-Thompson series is invariant under the genus-zero congruence subgroup $16D^0$ of $PSL(2,\mathbb{Z})$.

研究の動機と目的

• トポロジカルなデフェクト線がモンスター CFT において果たす役割、特にグローバル対称性の一般化であるものを理解すること。
• モンスター CFT における双対性デフェクト線を特定・特徴づけ、これはいかなる従来のグローバル対称性とも関連しないこと。
• 双対性デフェクトのモジュラー性質を用いて、モノスターマウンシャインの物理的実現を確立すること。
• モンスター CFT の $\mathbb{Z}_{2A}$ および $\mathbb{Z}_{2B}$ におけるフェルミオン化が、既知の頂点演算子代数（ベビーモンスターおよび 'Beauty and the Beast' SCFT を含む）とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• モンスター CFT の $\mathbb{Z}_{2A}$ 対称性下でのフェルミオン化を実行し、ベビーモンスター CFT とメジャナナ・ヴァイエル・フェルミオンのテンソル積からなるフェルミオン的 CFT を得る。
• 双対性デフェクト線 $\mathcal{N}$ を、イジング CFT におけるクラマース＝ヴァンダール双対性に類似した、モンスター CFT 内の非可逆的トポロジカルデフェクト線として構成する。
• トーラス分配函数にモジュラー $S$-双対性変換を適用し、デフェクトヒルベルト空間の分配函数 $Z^{\mathcal{N}}(\tau)$ を計算する。
• $Z^{\mathcal{N}}(\tau)$ が $\Gamma_0(8)$ で、$\pm 1$ の乗数系を伴って変換することを示し、その不変性群 $\widetilde{\Gamma}_{\mathcal{N}}$ を $\Gamma^{0,0} \cup \Gamma^{1,0}$ として同定する。
• $\mathbb{Z}_{2B}$ フェルミオン化をモンスター CFT に対して計算し、その NS および R セクターにおける分配函数が、既知の 'Beauty and the Beast' $\mathcal{N}=1$ SCFT のスペクトルと一致することを確認する。
• デフェクト分配函数のモジュラー性質を、$\mathcal{N}=1$ SCFT の $S$-行列を用いて分析し、双対性デフェクト構造と一貫していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンスター CFT における双対性デフェクト線の性質は何か？ これはどのようにグローバル対称性を一般化するか？
• RQ2 $\mathbb{Z}_{2A}$ フェルミオン化が、モンスター CFT において非可逆的トポロジカルデフェクトをどのように生じさせるか？
• RQ3 双対性デフェクト分配函数 $Z^{\mathcal{N}}(\tau)$ のモジュラー性は何か？ どの合同部分群がそれを不変に保つか？
• RQ4 $\mathbb{Z}_{2B}$ フェルミオン化がモンスター CFT と 'Beauty and the Beast' $\mathcal{N}=1$ SCFT とどのように関連するか？
• RQ5 双対性デフェクトのデフェクトヒルベルト空間を計算し、既知の CFT スペクトルと一致させることができるか？

主な発見

• モンスター CFT 内の双対性デフェクト線 $\mathcal{N}$ は非可逆的であり、$\mathbb{Z}_{2A}$ フェルミオン化に起因し、そのデフェクトヒルベルト空間分配函数 $Z^{\mathcal{N}}(\tau)$ は $\Gamma_0(8)$ で、$\pm 1$ の乗数系を伴って変換する。
• $Z^{\mathcal{N}}(\tau)$ の不変性群 $\widetilde{\Gamma}_{\mathcal{N}}$ は $\Gamma^{0,0} \cup \Gamma^{1,0}$ に同定され、これは $\Gamma_0(8)$ の指数 2 の正規部分群である。
• $\mathbb{Z}_{2A}$ フェルミオン化により、ベビーモンスター CFT とメジャナナ・ヴァイエル・フェルミオンのテンソル積が得られ、それぞれの中心電荷は $c = 47/2$ および $c = 1/2$ である。
• $\mathbb{Z}_{2B}$ フェルミオン化により、'Beauty and the Beast' $\mathcal{N}=1$ SCFT が得られ、NS および R セクターにおける分配函数は [5] で計算されたものと一致する。
• $\mathbb{Z}_{2B}$ フェルミオン化の R セクター分配函数 $\tilde{Z}_R(\tau)$ は $-24$ に等しく、$\mathcal{N}=1$ SCFT のウィッテン指数と整合的である。
• $\mathbb{Z}_{2B}$ オルビフォールドは、リーク・ラティス CFT を再現し、分配函数 $Z_{\text{Leech}}(\tau)$ は既知の $j(\tau) - 744$ の形と一致する。