[論文レビュー] Three-Dimensional Gravity Revisited

Edward Witten|ArXiv.org|Jun 22, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 54被引用数 417

ひとこと要約

本稿では、負の宇宙定数を有する三次元量子重力が、ホロモルフィックに分解可能な2次元CFTと双対であると提案し、BTZブラックホールの最小質量と$c$-定理によって、正確なスペクトルが決定されることを示す。$k^*=4$でモーニングCFTを特定し、重力と双対となる離散的系列のCFTを提唱。$k^*=6$ではベビーモンスター群の対称性が支持され、分割関数の係数が群の表現次元と一致する。

ABSTRACT

We consider the problem of identifying the CFT's that may be dual to pure gravity in three dimensions with negative cosmological constant. The c-theorem indicates that three-dimensional pure gravity is consistent only at certain values of the coupling constant, and the relation to Chern-Simons gauge theory hints that these may be the values at which the dual CFT can be holomorphically factorized. If so, and one takes at face value the minimum mass of a BTZ black hole, then the energy spectrum of three-dimensional gravity with negative cosmological constant can be determined exactly. At the most negative possible value of the cosmological constant, the dual CFT is very likely the monster theory of Frenkel, Lepowsky, and Meurman. The monster theory may be the first in a discrete series of CFT's that are dual to three-dimensional gravity. The partition function of the second theory in the sequence can be determined on a hyperelliptic Riemann surface of any genus. We also make a similar analysis of supergravity.

研究の動機と目的

• 負の宇宙定数を有する3次元重力の整合的量子理論を、$c$-定理とホログラフィー双対性を活用して同定すること。
• BTZブラックホールの最小質量とチャーン・サイモンズ形式を用いて、3次元純粋重力の正確なエネルギースペクトルを決定すること。
• 対称性群がモーニングやベビーモンスター群のように増加する2次元CFTの離散的系列が、3次元重力と双対となるかを調査すること。
• ハイパーオーロゴニックリーマン面における超重力の分割関数を解析し、特定のレベル$k^*$における散発的群対称性をテストすること。

提案手法

• 3次元重力のチャーン・サイモンズゲージ理論形式を用い、摂動論が有限であり、補正項が不要であることを保証する。
• $c$-定理を適用して結合定数を制約し、宇宙定数の離散的値でのみ整合的であることを示唆する。
• ハイパーオーロゴニックリーマン面上の双対CFTの分割関数を解析し、スペクトルおよび対称性の情報を抽出する。
• 分割関数のモジュラー$q$-展開の係数を、散発的群（例：モーニング群、ベビーモンスター群）の既約表現の次元と一致させる。
• BTZブラックホールの最小質量を用いて、双対CFTのスペクトルを固定し、ユニタリティおよびモジュラー不変性と整合することを保証する。
• 分割関数のラムドおよびNSセクターにおける先頭係数が、群の表現次元の正の整数線形結合として表現可能かどうかをテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数のどの値が、負の宇宙定数を有する3次元重力の整合的量子理論を可能にするか？
• RQ2 BTZブラックホールの最小質量とホログラフィー双対性を用いて、3次元純粋重力のエネルギースペクトルを正確に決定できるか？
• RQ3 最も負の宇宙定数における双対CFTは、フレンケル、レポウスキー、ミーマンのモーニングCFTであるか？
• RQ4 対称性群が増加する（例：ベビーモンスター群）離散的系列のCFTが、$k^*$が高くなるに従い3次元重力と双対となるか？
• RQ5 genus $g$ のハイパーオーロゴニックリーマン面上での双対CFTの分割関数を、すべての$g$について正確に計算できるか？

主な発見

• $k^*=4$ では、分割関数の係数がモーニング群の既約表現の次元と一致し、双対CFTにおけるモーニング対称性の強い示唆を得る。
• $k^*=6$ では、最初の非自明なNS係数（3,724,378）および先頭のラムド係数（1）が、ベビーモンスター群の表現次元の正の整数線形結合と整合する。
• $H_6$の先頭係数は2,589,372,416であり、$h_1/2 = f_1 - f_{1/2}$ はベビーモンスター表現次元の正の線形結合として表現可能である。
• $k^*=7$ から $k^*=10$ まで、分割関数 $F_k$ と $H_k$ を明示的に計算した。$H_k$ は負の先頭係数を示し、整数シフトが必要である。
• $k^*=6$ における係数 $f_1 = 1,298,410,586$ は、$14r_1 + 16r_2 + 7r_3 + 8r_4 + 4r_6 + 3r_7 + r_8 + 2r_9$ と一致する。ここで $r_i$ はベビーモンスター群の表現次元を表す。
• 解析から、対称性群が増加するCFTの離散的系列が3次元重力と双対となることが示唆され、ハイパーオーロゴニックリーマン面上で正確な分割関数が計算可能である。