[論文レビュー] Duality in Gerstenhaber algebras

Yves Félix, Luc Menichi+1 more|ArXiv.org|Nov 14, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、局所コノルポテンティヴな微分付き複体的コールゲブラ $C$ に対して、双対代数 $C^\vee$ とコバーコンストラクション $\overline{\Omega}C$ のホッシャルドコホモロジーの間に双対性を確立し、有限性条件の下でゲルステンハーバー代数としての同型を示している。この双対性により、特徴値が0でない体上の閉じた向き付け可能多様体の自由ループ空間のコホモロジーにおけるチャス＝サリヴァンのループ積がホモトピー的に実現される。

ABSTRACT

Let $C$ be a differential graded coalgebra, $ \barΩC$ the Adams cobar construction and $C^\vee$ the dual algebra. We prove that for a large class of coalgebras $C$ there is a natural isomorphism of Gerstenhaber algebras between the Hochschild cohomologies $HH^\ast (C^\vee, C ^\vee)$ and $HH^\ast (\barΩC ; \barΩC)$. This result permits to describe a Hodge decomposition of the loop space homology of a closed oriented manifold, in the sense of Chas-Sullivan, when the field of coefficients is of characteristic zero.

研究の動機と目的

• 微分付き複体的コールゲブラの広いクラスに対して、$C^\vee$ と $\overline{\Omega}C$ のホッシャルドコホモロジーの間に双対性を確立すること。
• 閉じた向き付け可能多様体の自由ループ空間コホモロジーにおけるチャス＝サリヴァンのループ積構造のホモトピー的解釈を提供すること。
• 有限性および非負性条件の下で、$C^\vee$ と $\overline{\Omega}C$ のホッシャルドコホモロジーがゲルステンハーバー代数として同型であることを証明すること。
• 自由モデルと微分付きリ代数の導分を用いて、ホッシャルド複体間の自然なクーライズモーフィズムを構成すること。

提案手法

• ホッシャルド複体 $\overline{\Omega}C$ から $C^\vee$ へのホモーマーフィズム $\mathcal{D}$ を構成し、コホモロジー上への写像を誘導する。
• それぞれ $C^\vee$ および $\overline{\Omega}C$ にクーライズモーフィックな自由モデル $(TV,d)$ と $(TW,d)$ を用いて、コホモロジー構造を分析する。
• 導分をモデル化するため、新しい微分と括弧を備えた拡張された微分付きリ代数 $\widetilde{\rm Der}A = {\rm Der}A \oplus sA$ を導入する。
• $s{\bf C}^\ast(A;A)$ と ${{\bf C}}_\infty^\ast({\ell\!k} \oplus sV; {\ell\!k} \oplus sV)$ が $\widetilde{\rm Der}A$ とクーライズモーフィックであることを証明し、ホッシャルドコホモロジーと $A_\infty$-コールゲブラコホモロジーを結びつける。
• クーライズモーフィズムの自然性を用いて、$H(\widetilde{\rm Der}(TW,d))$ と $s{\rm HH}^\ast(C^\vee;C^\vee)$、$H(\widetilde{\rm Der}(TV,d))$ を関連づけ、双対性を確立する。
• 幾何的チェーン上の $A_\infty$-バイモジュールおよび $\infty$-内積構造を活用し、代数的双対性をチャス＝サリヴァンのループ積に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コノルポテンティヴな微分付き複体的コールゲブラ $C$ に対して、ホッシャルドコホモロジー $HH^\ast(C^\vee; C^\vee)$ と $HH^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ の間に自然な同型が存在するか？
• RQ2 この同型が、積構造と括弧構造を保存するゲルステンハーバー代数の写像として実現可能か？
• RQ3 この双対性は、特徴値が0でない体におけるループ空間コホモロジーのホッジ分解に、ホモトピー的または代数的解釈を提供するか？
• RQ4 $\overline{\Omega}C$ と $C^\vee$ の間で、ホッシャルドコホモロジーおよびゲルステンハーバー代数構造の観点から、どのような関係が存在するか？
• RQ5 チャス＝サリヴァンのバタリン＝ヴィルコヴィチ代数構造を通じて、この双対性は閉じた向き付け可能多様体の全ループ空間コホモロジーへ拡張可能か？

主な発見

• $C$ が各次数で有限生成であり、かつ $C = C^{\geq 0}$ または $\overline{C} = \overline{C}_{\geq 2}$ を満たすとき、$HH^\ast(C^\vee; C^\vee)$ と $HH^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ の間には自然なゲルステンハーバー代数の同型が存在する。
• 底体 $\ell\!k$ が特徴値0のとき、$H(\mathcal{D})$ はクーライズモーフィズムに関して自然であり、$H(C)$ が各次数で有限生成であり、$C = C^{\geq 0}$ かつ $H^0(C) = \ell\!k$ または $\overline{C} = \overline{C}_{\geq 2}$ を満たす限り成立する。
• この同型は、$s{\bf C}^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ と $\widetilde{\rm Der}(\overline{\Omega}C)$ 間の微分付きリ代数のクーライズモーフィズムを介して実現され、同様に $C^\vee$ に対しても成り立つ。これによりホッシャルドコホモロジーと自由モデル上の導分が結びつく。
• 拡張リ代数 $\widetilde{\rm Der}A$ はホッシャルドコホモロジーと $A_\infty$-コールゲブラコホモロジーの間の橋渡しを果たし、$s{\bf C}^\ast(A;A) \simeq \widetilde{\rm Der}A \simeq {\bf C}_\infty^\ast(\ell\!k \oplus sV; \ell\!k \oplus sV)$ が成り立つ。
• この双対性により、特徴値が0の体上、閉じた向き付け可能多様体 $M$ のループ空間コホモロジー $\mathbb{H}_\ast(M^{S^1})$ にホッジ分解が可能になる。これはチャス＝サリヴァンのバタリン＝ヴィルコヴィチ代数構造を介して実現される。
• この構成は、幾何的チェーン上の $A_\infty$-バイモジュールおよび $\infty$-内積構造と整合的であり、ループ積および括弧の代数的起源を確認する。