[論文レビュー] Dynamic mode decomposition for interconnected control systems

Byron Heersink, Michael A. Warren+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ネットワーク構造を活用することで、制御付き動的モード分解（DMDc）を相互接続された制御システムに拡張するデータ駆動型手法、Network DMDc を提案する。システムを局所的サブシステムに分解し、接続されたコンポONENTにのみ注目することで、計算コストを低減し、特にスパースな接続性を示す大規模システムにおいて、線形ダイナミクスの同定精度を向上させる。

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) is a data-driven technique used for capturing the dynamics of complex systems. DMD has been connected to spectral analysis of the Koopman operator, and essentially extracts spatial-temporal modes of the dynamics from an estimate of the Koopman operator obtained from data. Recent work of Proctor, Brunton, and Kutz has extended DMD and Koopman theory to accommodate systems with control inputs: dynamic mode decomposition with control (DMDc) and Koopman with inputs and control (KIC). In this paper, we introduce a technique, called Network dynamic mode decomposition with control, or Network DMDc, which extends the DMDc to interconnected, or networked, control systems. Additionally, we provide an adaptation of Koopman theory for networks as a context in which to perform this algorithm. The Network DMDc method carefully analyzes the dynamical relationships only between components in systems which are connected in the network structure. By focusing on these direct dynamical connections and cutting out computation for relationships between unconnected components, this process allows for improvements in computational intensity and accuracy.

研究の動機と目的

• 大規模で相互接続された制御システムに標準的な DMDc を適用する際の計算非効率性と数値的不安定性を解消すること。
• 力学的システムに内在するネットワーク構造を活用して、モデルの複雑さを低減し、精度を向上させる手法の開発。
• Koopman作用素理論をネットワーキングシステムに拡張し、提案手法の理論的基盤を確立すること。
• 最小限のデータ要件で、効率的かつ並列処理可能な大規模ネットワーキングシステムの同定を可能にすること。
• データが限られている場合やノイズが混入している場合でも、動的接続コンポONENTにのみ注目することで、グローバル DMDc アプローチよりも正確で計算的に実行可能なモデルが得られることを示すこと。

提案手法

• ネットワークの隣接構造に基づいて、ネットワーキング制御システムを局所的サブシステムに分解する。ここで各ノードはサブシステムを表す。
• 各サブシステムに対して、状態と制御入力の時系列データを用いて、局所的 Kooopman作用素近似を DMDc を用いて推定する。
• 局所的モデルは、状態と制御の軌道から構築されたデータ行列を用い、疑似逆行列を用いて線形ダイナミクスを解くことで得られる。
• 相互接続されていないコンポONENT間の相互作用を計算しないため、線形代数問題のサイズを顕著に削減する。
• 最終的なグローバルモデルは、局所的モデルを組み合わせることで再構築され、ネットワーク構造とダイナミカルな依存関係を保持する。
• 局所的 Kooopman作用素近似を組み込むことで、線形および非線形システムの両方に対応できるように、手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースなネットワーク構造を示す大規模で相互接続された制御システムを、効率的にモデル化するには、DMDc をどのように拡張すればよいか。
• RQ2 DMDに基づくシステム同定において、ネットワーク構造を活用することによる計算的利点と精度の向上は何か。
• RQ3 データが限られている場合やノイズが混入している場合、局所的 DMDc アプローチがグローバル DMDc よりも優れているか。
• RQ4 ネットワーク構造は、システム同定プロセスの数値的安定性にどのように影響するか。
• RQ5 Network DMDc は、リアルタイムまたは分散制御応用に向け、どの程度並列化可能でスケーラブルに拡張できるか。

主な発見

• Network DMDc は、スパースな接続性を示すシステムにおいて、標準的な DMD や DMDc よりも一貫して線形ダイナミクスの回復に優れていた。
• 50ノード、エッジ確率 0.05 の Erdős-Rényi ランダムネットワークにおいて、短いシミュレーション長でも、DMD よりも著しく低い平均モデル誤差を達成した。
• 標準的な DMD が悪条件な疑似逆行列に起因する小特異値に起因する数値的不安定性を、この手法は緩和した。
• 接続コンポONENTにのみ注目することで、グローバル DMDc と比較して計算負荷を低減し、数値的条件を改善した。
• このアルゴリズムは、データ相関に対してもロバストであり、最大の局所的サブシステムの次元と等しいシミュレーション長でも効果的であった。
• この手法は自然に並列計算をサポートしており、大規模ネットワーキングシステムへのスケーラブルな展開を可能にした。