[論文レビュー] Dynamic Programming Principle for Stochastic Recursive Optimal Control Problem under G-framework

Mingshang Hu, Shaolin Ji|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、G-フレームワーク下での確率的再帰的最適制御問題に対して、動的計画法の原則（DPP）を確立する。コスト関数はG・ブラウン運動によって駆動される後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）によって定義される。主な貢献は、値関数が完全非線形HJB方程式の粘性解であることを証明したことであり、非支配的確率測度の上でのsup-inf形式により、ボラティリティの不確実性下でのロバスト制御を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we study a stochastic recursive optimal control problem in which the cost functional is described by the solution of a backward stochastic differential equation driven by G-Brownian motion. Under standard assumptions, we establish the dynamic programming principle and the related fully nonlinear HJB equation in the framework of G-expectation. Finally, we show that the value function is the viscosity solution of the obtained HJB equation.

研究の動機と目的

• ボラティリティの不確実性をモデル化するG-フレームワーク下での確率的再帰的最適制御問題に、動的計画法の原則を拡張すること。
• G・ブラウン運動によって駆動されるBSDEを用いてコスト関数を定式化し、モデルの不確実性下でのロバスト制御を可能にすること。
• G期待値の文脈において、値関数が完全非線形Hessian-Bellman（HJB）方程式を満たすことを証明すること。
• 導出されたHJB方程式に対して、値関数の粘性解の性質を確立すること。
• G-フレームワークと準確実な確率的解析を用いて、古典的な確率的制御結果をロバストな設定に一般化すること。

提案手法

• 制御されたSDEをG・ブラウン運動によって駆動する形で状態ダイナミクスを定式化し、ドリフト項、拡散項、および二次変動項を含む。
• コスト関数をG・ブラウン運動によって駆動されるBSDEの解として定義し、生成関数を状態、制御、および前向き過程に依存させる。
• 後向き半群アプローチを用いて、G-フレームワーク下での動的計画法の原則を導出する。
• G期待値を非支配的確率測度の上での上界として表現することで、制御問題をinf-sup最適化問題に再定式化する。
• 条件付きG期待値の極限を用いてHJB方程式を確立し、基準測度下でのBSDEの比較定理を適用する。
• 摂動論法と条件付き期待値の収束を用いて、値関数がHJB方程式の粘性解であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティの不確実性を伴うG-フレームワーク下での確率的再帰的最適制御問題に対して、動的計画法の原則をどのように拡張できるか。
• RQ2 このロバスト制御設定下で、値関数を支配するHamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程式の形は何か。
• RQ3 完全非線形PDEの文脈において、G期待値下での値関数が粘性解の概念とどのように関係するか。
• RQ4 G・ブラウン運動によって駆動されるBSDEの解は、非支配的確率測度の族上の上界として表現可能か。その場合、制御問題にどのような影響を与えるか。
• RQ5 この一般化された枠組みにおいて、値関数の存在・一意性およびその粘性解の性質を保証する条件は何か。

主な発見

• G-フレームワーク下での確率的再帰的最適制御問題に対して、動的計画法の原則が成立し、値関数は条件付きG期待値の下界として表現される。
• 値関数は、BSDEの生成関数とG期待値の非線形期待値構造を含む完全非線形HJB方程式を満たす。
• 値関数がHJB方程式の粘性解であることが証明され、G-フレームワーク下で確率的制御と非線形PDEの間の根本的な関係が確立される。
• G・ブラウン運動によって駆動されるBSDEの解は、非支配的確率測度の族上の古典的期待値の上界として表現可能である。
• 証明は、G期待値の台に含まれる基準確率測度が存在し、その上で条件付き期待値が決定論的極限に収束することに依存しており、これにより比較定理が成立する。
• 摂動解析と時間区間を0に収束させる条件付き期待値の極限を用いて、粘性解の性質が確立される。