[論文レビュー] Quasi-continuous random variables and processes under the G-expectation framework

Mingshang Hu, Falei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、PDE技法とKrylovの推定を用いて、$G$-期待値枠組みにおいて、$G$-可積分過程の特徴付けを確立し、多項式成長を示すボレル可測関数による駆動を受ける$G$-イト過程のクラスが擬連続的であることを特定する。この結果、収束定理が得られ、特に非マルコフ型SDEおよび非リプシッツ条件下での後向き方程式に対する$G$-確率的解析が進展する。

ABSTRACT

In this paper, we first use PDE techniques and probabilistic methods to identify a kind of quasi-continuous random variables. Then we give a characterization of the $G$-integrable processes and get a kind of quasi-continuous processes by Krylov's estimates. This result is useful for the development of $G$-stochastic analysis theory. Moreover, it also provides a tool for the study of the non-Markovian Itô processes.

研究の動機と目的

• 非可測な測度が代表集合$\mathcal{P}$に含まれる$G$-期待値枠組みにおいて、擬連続性を検証する課題を克服すること。
• 先行研究を一般化する形で、$M_G^p(0,T)$の空間である$G$-可積分過程の特徴付けを構築すること。
• $G$-イト過程に対して弱い支配収束定理を確立し、非リプシッツ条件下でのSDEおよび後向き方程式の解析を容易にすること。
• $G$-SDEにおける適切な制御の近似構成およびマルコフ性の証明のための基盤を提供すること。

提案手法

• PDE技法と確率的制御手法を用いて、$G$-イト過程に関連する極集合を同定し、不規則なボレル関数の擬連続性を可能にする。
• Krylovの推定を応用し、$M_G^1(0,T)$における擬連続的で逐次可測な過程のクラスを構築する。
• $G$-期待値枠組みにおける擬連続的過程の単調収束定理を確立する。
• 補題4.13を用いて、$G$-期待値の積分を関数の$L^p$ノルムで有界化し、$L^p$可積分性と$G$-可積分性を結びつける。
• $L^p$空間における収束定理を応用し、近似列の$G$-期待値の収束を証明する。
• コンパクトな台を持つ連続関数の近似列を構成し、多項式成長を示すボレル可測関数に almost everywhere で収束させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式成長を示すボレル可測関数によって駆動される$G$-イト過程が、$G$-期待値枠組みにおいて擬連続的であることが示せるか？
• RQ2 駆動関数が可測に限る場合に、$G$-イト過程の列が$G$-期待値で収束するための条件は何か？
• RQ3 Krylovの推定をどのように変形することで、$G$-期待値枠組みにおける擬連続的過程を生成できるか？
• RQ4 非リプシッツ係数を有するSDEおよびBSDEを扱うために、$G$-イト過程に対して弱い支配収束定理を確立できるか？
• RQ5 極集合は、$G$-確率過程の擬連続性を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• $p \geq n+1$ ならば、$\psi \in L^p([0,T] \times \mathbb{R}^n)$ ならば、過程 $(\psi(t,X_t))_{t \leq T}$ は $M_G^1(0,T)$ に属し、$\psi$ のバージョンに関してほとんど everywhere で等式が成り立つ。
• $p \geq n$ ならば、$\varphi \in L^p(\mathbb{R}^n)$ ならば、過程 $(\varphi(X_t))_{t \leq T}$ は $M_G^1(0,T)$ に属し、$\varphi$ のバージョンに関してほとんど everywhere で等式が成り立つ。
• $\varphi^k \to \varphi$ a.e. かつ $|\varphi^k| \leq \bar{C}(1+|x|^l)$ ならば、$\mathbb{\hat{E}}[\int_0^T |\varphi^k(X_t) - \varphi(X_t)|^p dt] \to 0$ が $k \to \infty$ のとき成り立ち、弱い支配収束定理が確立される。
• 任意のボレル可測関数$\varphi$が多項式成長を示す場合、$(\varphi(X_t))_{t \leq T} \in M_G^2(0,T)$ であり、これは過程が$G$-可積分であり、連続関数による近似が可能であることを保証する。
• Krylovの推定から得られる収束速度のおかげで、非マルコフ型イト過程のサンプルパスの性質（微分可能性、最大値など）の研究が可能になる。
• これらの結果は、$G$-SDEのマルコフ性の証明および$G$-確率的制御問題における近似の構成に不可欠な道具を提供する。