[論文レビュー] Dynamic Shortest Path and Transitive Closure Algorithms: A Survey

Daniel P. Martin|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 61被引用数 3

ひとこと要約

本調査は、完全動的および部分動的グラフにおける動的最短経路および推移的閉包アルゴリズムについて、基礎的かつ最先端のアプローチを網羅的に概説しており、更新時間とクエリ時間のトレードオフに焦点を当てている。Even-ShiloachおよびRoddity-Zwickに基づく主要なアルゴリズムを提示し、OMvおよびBMM予想からの条件付き下界との関連を確立している。

ABSTRACT

Algorithms which compute properties over graphs have always been of interest in computer science, with some of the fundamental algorithms, such as Dijkstra's algorithm, dating back to the 50s. Since the 70s there as been interest in computing over graphs which are constantly changing, in a way which is more efficient than simple recomputing after each time the graph changes. In this paper we provide a survey of both the foundational, and the state of the art, algorithms which solve either shortest path or transitive closure problems in either fully or partially dynamic graphs. We balance this with the known conditional lowerbounds.

研究の動機と目的

• 完全動的および部分動的グラフにおける動的最短経路および推移的閉包の基礎的かつ最先端のアルゴリズムを調査すること。
• 特に完全動的およびデクリメンタル設定の文脈において、動的グラフアルゴリズムにおける更新時間とクエリ時間のトレードオフを分析すること。
• 異なるグラフタイプおよび制約条件における動的連結性、最短経路、推移的閉包問題の既知の上界を提示・比較すること。
• OMvおよびBMM予想に基づく条件付き下界を検討し、それらがアルゴリズムの効率性に与える影響を評価すること。
• ランダム化の除去、決定的アルゴリズムとランダム化アルゴリズムの間の分離、インクリメンタル対デクリメンタル設定における境界の厳密化といった、未解決の問題を同定すること。

提案手法

• EvenとShiloachのデクリメンタル連結性アルゴリズムおよびその変種を含む、広範な動的グラフアルゴリズムの調査。
• 償備時間と最悪ケース時間計算量を分析し、特に(1+ε)-近似を用いた完全動的全点対最短経路に注目する。
• Roddity-Zwickのアルゴリズムにおけるパラメータtの使用といった、更新時間O(mn/t)とクエリ時間O(t)のトレードオフメカニズムを提示する。
• 動的モデル（インクリメンタル、デクリメンタル、完全動的）、グラフタイプ（有向/無向）、重み制約（正の整数、実数）に基づいてアルゴリズムを分類する。
• オンライン行列ベクトル（OMv）およびブール行列乗算（BMM）予想からの条件付き下界を用いて、既存のアルゴリズムの最適性を評価する。
• 単一始点、s-t、全点設定を含む、近似あり・なしを含むさまざまな問題バージョンにおけるアルゴリズムのパフォーマンスを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的全点対最短経路および推移的閉包の最も効率的な既知のアルゴリズムは何か。それらは更新時間とクエリ時間の間でどのようなトレードオフを達成しているか。
• RQ2 OMvおよびBMM予想からの条件付き下界は、動的グラフアルゴリズムのパフォーマンスにどのように制約を加えるか。
• RQ3 インクリメンタルとデクリメンタル動的アルゴリズムの間のパフォーマンスギャップは、理論的に説明可能か、あるいは縮小可能か。
• RQ4 ランダム化の除去は、決定的アルゴリズムとランダム化アルゴリズムの境界の文脈において、動的グラフアルゴリズムにどのような影響を及えるか。
• RQ5 既存の動的アルゴリズムは、条件付き下界に達するか、それに近づけるようにどれほど改善可能か。

主な発見

• デクリメンタル連結性のためのEven-Shiloachアルゴリズムは、総更新時間O(mn)、クエリ時間O(1)を達成し、後の動的アルゴリズムの基礎的アプローチとして機能している。
• RoddityとZwickの全点対最短経路の完全動的(1+ε)-近似アルゴリズムは、更新時間O(mn/t)、クエリ時間O(t)を達成し、調整可能なトレードオフを可能にしている。
• デクリメンタル単一始点最短経路のためのアルゴリズムは、総更新時間O(n²)、クエリ時間O(1)を達成でき、単純な再計算手法を上回っている。
• 条件付き下界は、OMv予想が誤りである限り、動的全点対最短経路をO((mn)^{1−ε})の更新時間で解くアルゴリズムは存在しないと示唆している。
• 強連結成分の最良の既知のデクリメンタルアルゴリズムはO(m log n)時間で実行され、単純な再計算に比べて顕著に向上している。
• 本調査は、正確な距離を求める完全動的全点対最短経路のための現在のアルゴリズムが、条件付き下界によって制限されていることを強調しており、効率性を確保するには近似または償備時間の境界が必要であると示唆している。