[論文レビュー] Fully Dynamic All Pairs All Shortest Paths

Matteo Pontecorvi, Vijaya Ramachandran|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正の辺重みをもつ有向グラフにおける全頂点対全最短経路（APASP）を、辺重みの増加および減少の両方をサポートする完全動的アルゴリズムを提示する。各更新処理の amortized 時間計算量は $O({u^{*}}^{2}/\log^{3}n)$ であり、一意の最短経路に対する既存の最良の境界と一致しており、同じ効率で完全動的次数中心性にも拡張可能である。

ABSTRACT

We consider the all pairs all shortest paths (APASP) problem, which maintains all of the multiple shortest paths for every vertex pair in a directed graph $G=(V,E)$ with a positive real weight on each edge. We present two fully dynamic algorithms for this problem in which an update supports either weight increases or weight decreases on a subset of edges incident to a vertex. Our first algorithm runs in amortized $O({ν^*}^2 \cdot \log^3 n)$ time per update, where $n = |V|$, and $ν^*$ bounds the number of edges that lie on shortest paths through any single vertex. Our APASP algorithm leads to the same amortized bound for the fully dynamic computation of betweenness centrality (BC), which is a parameter widely used in the analysis of large complex networks. Our method is a generalization and a variant of the fully dynamic algorithm of Demetrescu and Italiano [DI04] for unique shortest path, and it builds on our recent decremental APASP [NPR14]. Our second (faster) algorithm reduces the amortized cost per operation by a logarithmic factor, and uses new data structures and techniques that are extensions of methods in a fully dynamic algorithm by Thorup.

研究の動機と目的

• 正の辺重みをもつ有向グラフにおける全頂点対全頂点間最短経路を維持する完全動的アルゴリズムの開発。
• 更新処理として辺重みの増加および減少の両方をサポート（完全動的更新）し、従来の減少のみまたは増加のみを許容する手法を拡張。
• 全頂点対間の複数の最短経路をすべて維持し、動的ネットワークにおける次数中心性の正確な計算を可能にする。
• 複数の最短経路が存在する場合でさえも、既存の完全動的 APSP アルゴリズムと同等またはそれを上回る amortized 時間計算量を達成する。
• Demetrescu–Italiano アルゴリズムに対して、新規の「ダミー列」メカニズムを導入することで、新たな amortized 分析を提供する。

提案手法

• Demetrescu と Italiano (DI) の完全動的 APSP アルゴリズムを一般化し、複数の最短経路を扱えるように、そのデータ構造と更新手順を拡張する。
• 左最短経路拡張（LHP）および右最短経路拡張（RHP）とその個数を維持するため、局所的およびグローバルなコンponents をもつ階層的データ構造を用いる。
• 重み $[wt, x, y]$ をキーとする優先度付きキュー $H_f$ を用いて、中間頂点を通る経路 $(xa, by)$ を処理する。
• 元の DI 列に代わる「ダミー列」を導入し、複数経路設定下でも適用可能な新たな amortized 分析を可能にする。
• Thorup の高速 APSP アルゴリズムの技術を活用し、経路カウントおよび拡張のための高度なデータ構造を用いることで、amortized 界を対数因子分改善する。
• 階層的構造（$P(x,y)$, $P^*$, $dict_j$）および制御ビット ($\beta$) を用いて経路数を維持し、更新処理中に新しく発見された経路を追跡し、正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺重みの増加および減少の両方をサポートする完全動的 APASP アルゴリズムは、複数の最短経路を正しく維持できるか？
• RQ2 複数の最短経路が存在する場合でも、元の Demetrescu–Italiano アルゴリズムの唯一の最短経路に対する境界と同等の amortized 時間計算量を達成できるか？
• RQ3 Thorup の高速 APSP アルゴリズムの技術を複数経路設定に適応することで、$\log n$ 要因分の更新時間改善が達成可能か？
• RQ4 提案された APASP アルゴリズムを用いて、同じ amortized 界を達成する動的次数中心性の計算が可能か？
• RQ5 元のシーケンスを「ダミー列」に置き換えることで、複数経路の文脈下でも正しく動作する新たな amortized 分析が、Demetrescu–Italiano アルゴリズムに対して可能か？

主な発見

• 基本的なアルゴリズムは、$\nu^*$ が小さい場合、一意の最短経路に対する DI の境界と一致する $O({\nu^{*}}^{2}\\nolimits\log^{3}n)$ の amortized 更新時間を持つ。
• 重みの増加および減少の両方において、全頂点対間の複数の最短経路を正しく維持しており、従来の減少のみまたは増加のみを許容する手法を拡張している。
• Thorup の手法にインspiredされた高度なデータ構造を組み込むことで、より高速なバージョンが $O({\nu^{*}}^{2}\nolimits\log^{2}n)$ の amortized 時間に短縮可能である。
• APASP アルゴリズムは、同じ amortized 界を達成する完全動的次数中心性計算を直接得られ、動的複雑ネットワークにおける効率的な更新を可能にする。
• 本稿では、複数経路設定下でも正しく動作する「ダミー列」を導入することで、Demetrescu–Italiano アルゴリズムに対する新たな amortized 分析を提供している。
• アルゴリズムの正しさは、更新処理中にデータ構造内にすべての最短経路およびその個数が正しく維持されることを保証するループ不変条件により証明されている。