[論文レビュー] Dynamical properties and structure of Julia sets of postcritically bounded polynomial semigroups

Rich Stankewitz, Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、後方臨界集合が一様に有界である'postcritically bounded polynomial semigroups'におけるジュリア集合の力学的および構造的性質を調査する。特定のタイプ（例えば、二重に接続されたもの）の異なるファトウ成分は、ジュリア集合内に一様な歪度を有する準円のカントール集合によって分離されていることが証明され、このような半群における深い位相的および準正則的構造が確立される。

ABSTRACT

We discuss the dynamic and structural properties of polynomial semigroups, a natural extension of iteration theory to random (walk) dynamics, where the semigroup $G$ of complex polynomials (under the operation of composition of functions) is such that there exists a bounded set in the plane which contains any finite critical value of any map $g \in G$. In general, the Julia set of such a semigroup $G$ may be disconnected, and each Fatou component of such $G$ is either simply connected or doubly connected (\cite{Su01,Su9}). In this paper, we show that for any two distinct Fatou components of certain types (e.g., two doubly connected components of the Fatou set), the boundaries are separated by a Cantor set of quasicircles (with uniform dilatation) inside the Julia set of $G.$ Important in this theory is the understanding of various situations which can and cannot occur with respect to how the Julia sets of the maps $g \in G$ are distributed within the Julia set of the entire semigroup $G$. We give several results in this direction and show how such results are used to generate (semi) hyperbolic semigroups possessing this postcritically boundedness condition.

研究の動機と目的

• 後方臨界集合が有界である多項式半群におけるジュリア集合の力学的および構造的性質を理解すること。
• 半群に属する個々の写像のジュリア集合が、半群全体のグローバルジュリア集合内にどのように分布しているかを分析すること。
• 特に二重に接続されたものであるような、異なるファトウ成分間の位相的分離を特徴づけること。
• 後方臨界有界性の条件下で、半群が（準）双曲的であるための条件を確立すること。
• 準円および一様な準正則的歪度がジュリア集合の構造に果たす役割を探索すること。

提案手法

• 合成に関する有理型および多項式半群の理論を用い、ファトウ集合における後退不変性と正規性に注目する。
• 後退不変で少なくとも3点を含む最小ジュリア集合 $ J_{\min}(G) $ の概念を適用する。
• 準正則写像と歪度推定（例えば、Koebe歪度定理）を用いて、小さな球の逆像の幾何を制御する。
• 後方臨界集合の一様有界性を用いて、逆像の成分が一様に分離されていることを保証する。
• SullivanのWandering Domain定理を適用し、ファトウ集合内にシエルグリディスクや放物的周期軌道がないことを排除する。
• 参考文献[22]の補題1.10を応用し、反復写像における逆像成分の直径を有界化することで、一様な制御を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後方臨界有界な多項式半群における、個々の写像のジュリア集合が、半群のグローバルジュリア集合内にどのように分布しているか。
• RQ2 このような半群において、特に二重に接続されたファトウ成分は、どのような位相的構造によって分離されているか。
• RQ3 多項式半群のジュリア集合に、一様な歪度を有する準円のカントール集合が含まれる条件は何か。
• RQ4 後方臨界有界性の条件を用いて、半群の（準）双曲的性を保証できるか。
• RQ5 逆像成分の均一な準正則的歪度が、ジュリア集合のグローバル構造にどのように影響するか。

主な発見

• 後方臨界有界な多項式半群において、任意の二つの異なる二重に接続されたファトウ成分の境界は、ジュリア集合内に一様な歪度を有する準円のカントール集合によって分離されている。
• 最小ジュリア集合 $ J_{\min}(G) $ は少なくとも3点を含み、その後退軌道は全ジュリア集合 $ J(G) $ において稠密である。
• 後方臨界集合の一様有界性と一様な準正則的歪度のおかげで、半群に属する写像による小さな球の逆像の成分は、一様に分離されている。
• 吸引領域の和集合 $ UH(G) $ は $ J_{\min}(G) $ と交差しない。これは、$ J_{\min}(G) $ の点が、半群に属するいかなる写像の吸引域にも属さないことを示唆する。
• 任意の $ z \in J_{\min}(G) $ に対して、反復写像における逆像の次数に一様な上限 $ N $ が存在し、$ z \in SH_N(G) $、つまり有界な重複度を持つ点であることが示される。
• グローバルジュリア集合 $ J(G) $ にはワンドリングドメインが存在せず、逆像成分の均一な制御のおかげで、$ J(G) $ 上の力学は構造的に剛性を示す。