[論文レビュー] Dynamical Systems Applied to Asymptotic Geometry

Alberto A. Pinto, Dennis Sullivan|ArXiv.org|Feb 17, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、円周上の滑らかで拡張的な力学系と、特定の関数方程式を満たす2進カントール集合上のホルダー連続関数（ソリノイド関数）の間の対応関係を確立する。この力学系の最大滑らかさ—微分同相類に関して—が $ C^{1+\alpha} $ であることは、ソリノイド関数が $ \alpha $-ホルダーであることと同値であり、$ C^{2+\alpha} $ であることは、導出された交比関数が $ (1+\alpha) $-ホルダーであることと同値である。さらに $ \alpha > 1 $ のとき、剛性が成立する。

ABSTRACT

In the paper we discuss two questions about smooth expanding dynamical systems on the circle. (i) We characterize the sequences of asymptotic length ratios which occur for systems with Hölder continuous derivative. The sequences of asymptotic length ratios are precisely those given by a positive Hölder continuous function $s$ (solenoid function) on the Cantor set $C$ of 2-adic integers satisfying a functional equation called the matching condition. The functional equation for the 2-adic integer Cantor set is $s(2x+1)=\frac{s(x)}{s(2x)}(1+\frac{1}{s(2x-1)})-1.$ We also present a one-to-one correspondence between solenoid functions and affine classes of 2-adic quasiperiodic tilings of the real line that are fixed points of the 2-amalgamation operator. (ii) We calculate the precise maximum possible level of smoothness for a representative of the system, up to diffeomorphic conjugacy, in terms of the functions $s$ and $cr(x)=(1+s(x))/(1+(s(x+1))^{-1})$. For example, in the Lipschitz structure on $C$ determined by $s$, the maximum smoothness is $C^{1+α}$ for $0 1$.

研究の動機と目的

• 滑らかで拡張的な円周写像の、ホルダー連続な導関数をもつ場合の漸近的長さ比を特徴づけること。
• 2進準周期的タイリングのアフィン類で、2-結合作用素に関して不動点であるものと、ソリノイド関数の間の一対一対応を確立すること。
• 微分同相類に関して、このような系の最大滑らかさが、ソリノイド関数および導出された交比関数のホルダー正則性によってどのように決まるかを特定すること。
• ソリノイド関数が $ \alpha $-ホルダーで $ \alpha > 1 $ であるならば、それが定数でなければならないという剛性現象を明らかにすること。これはモストウ型剛性に関連する。

提案手法

• 2進ソリノイド $ \tilde{S}(2) $ の逆極限構成を用いて、円周力学系を一意的なソリノイド座標系へと持ち上げる。
• 関数方程式 $ s(2x+1) = \frac{s(x)}{s(2x)}\left(1 + \frac{1}{s(2x-1)}\right) - 1 $ を満たす、2進カントール集合 $ C $ から $ \mathbb{R}^+ $ へのソリノイド関数 $ s: C \to \mathbb{R}^+ $ を定義する。
• 高階の滑らかさを解析するために、交比歪み関数 $ cr(x) = \frac{1+s(x)}{1 + (s(x+1))^{-1}} $ を導入する。
• 一様漸近的アフィン（uaa）同相写像および比歪み理論を適用し、幾何的グリッド性質と微分可能性クラスの関係を関係づける。
• 2進超距離構造とグリッドの有界幾何を用いて、対数比歪み推定における誤差項を制御する。
• グリッド区間の漸近的解析とその長さ比を用いて、関連する同相写像 $ \psi $ の微分可能性およびホルダー連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで拡張的な円周写像の、ホルダー連続な導関数をもつ場合に、どの漸近的長さ比の列が生じ得るか。
• RQ2 2進カントール集合上のソリノイド関数と、実数直線上の2進準周期的タイリングのアフィン類との間の正確な関係は何か。
• RQ3 ソリノイド関数 $ s $ のホルダー正則性が、微分同相類に関して最大滑らかさクラスをどのように決定するか。
• RQ4 交比関数 $ cr(x) $ が $ C^{2+\alpha} $ 滑らかさを特徴づけるために果たす役割は何か。
• RQ5 ソリノイド関数 $ s $ が定数になる条件は何か。また、これは剛性現象とどのように関係するか。

主な発見

• 滑らかで拡張的な円周写像の、$ C^{1+\text{H}\ddot{o}lder} $ の漸近的長さ比の集合は、関数方程式を満たす正の $ \alpha $-ホルダー連続関数 $ s $ と、自然な双対性をもつ。
• ソリノイド関数 $ s $ と、2-結合作用素に関して不動点である2進準周期的タイリングのアフィン類との間には、一対一対応が存在する。
• 代表的系の最大滑らかさが $ C^{1+\alpha} $（$ 0 < \alpha \leq 1 $）であることは、$ s $ が $ \alpha $-ホルダー連続であることと同値である。
• 最大滑らかさが $ C^{2+\alpha} $（$ 0 < \alpha \leq 1 $）であることは、交比関数 $ cr(x) $ が $ (1+\alpha) $-ホルダー連続であることと同値である。
• $ s $ が $ \alpha $-ホルダーで $ \alpha > 1 $ であるならば、$ s $ は定数でなければならない。これは、モストウ剛性に類似した剛性現象を示している。
• グリッド区間の対数比歪みは極限 $ d_P $ に収束し、関連する同相写像 $ \psi $ は微分可能で、$ d\psi(P) = 2d_P $ を満たす。さらに、グリッドの有界幾何が $ r $ 階であるとき、$ d\psi $ は $ r $-ホルダー連続である。