[論文レビュー] Dynamics Compensation in Observation of Abstract Linear Systems

Hongyinping Feng, Xiaohui Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形系におけるセンサダイナミクス補償および出力制御問題を解消するため、抽象級連系に対する統一的観測者設計フレームワークを提案する。両問題を共通の抽象線形系構造に定式化し、調整ゲイン作用素を備えたルエンバーガー型観測者を用いることで、目標系設計やリャプノフ関数構築を要せず、観測誤差の指数的収束を保証する。時間遅れを伴うODEおよびOEDセンサダイナミクスを有する不安定な熱方程式を用いた検証により有効性が確認された。

ABSTRACT

This is the second part of four series papers, aiming at the problem of sensor dynamics compensation for abstract linear systems. Two major issues are addressed. The first one is about the sensor dynamics compensation in system observation and the second one is on the disturbance dynamics compensation in output regulation for linear system. Both of them can be described by the problem of state observation for an abstract cascade system. We consider these two apparently different problems from the same abstract linear system point of view. A new scheme of the observer design for the abstract cascade system is developed and the exponential convergence of the observation error is established. It is shown that the error based observer design in the problem of output regulation can be converted into a sensor dynamics compensation problem by the well known regulator equations. As a result, a tracking error based observer for output regulation problem is designed by exploiting the developed method. As applications, the ordinary differential equations (ODEs) with output time-delay and an unstable heat equation with ODE sensor dynamics are fully investigated to validate the theoretical results. The numerical simulations for the unstable heat system are carried out to validate the proposed method visually.

研究の動機と目的

• 抽象線形系における間接的システム観測におけるセンサダイナミクス補償を扱う。
• 統一的観測者フレームワークを用いて出力制御における摂動ダイナミクス補償問題を解く。
• ODEおよびPDEシステムに適用可能な体系的かつ汎用的な観測者設計手法を開発する。
• PDEバックステッピングにおいて一般的な課題である目標系選択やリャプノフ関数構築に依存しない。
• 時間遅れ付き有限次元系および無限次元の不安定な熱方程式に対して、本手法を検証する。

提案手法

• ヒルバート空間における抽象線形発展方程式に従う級連系として、センサダイナミクスおよび出力制御問題を定式化する。
• 遅延または間接的測定からの全状態推定を目的とした、調整ゲイン作用素 F₁ および F₂ を備えたルエンバーガー型観測者を導入する。
• スペクトル解析およびレギュレータ方程式による可逆変換を用いて、観測誤差の適切な定義および指数的収束を確立する。
• レギュレータ方程式を用いて、追従誤差に基づく観測者設計をセンサダイナミクス補償問題に変換し、統一的取り扱いを可能にする。
• 有限差分空間離散化を用いて、出力時間遅れ付きODEおよびOEDセンサダイナミクスを有する不安定な熱方程式に本手法を適用し、数値的検証を行う。
• 有限次元射影の可観測性および無限次元部分系の検出可能性を用いて、観測者ゲインの存在を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 センサダイナミクス補償および出力制御は、単一の抽象級連系観測者問題の例として取り扱えるか？
• RQ2 事前に目標系を選択する必要がない抽象級連系に対して、ルエンバーガー型観測者をどのように設計できるか？
• RQ3 このような系において、観測誤差の指数的収束を保証する条件は何か？
• RQ4 本手法は、ODEセンサダイナミクスおよび無限次元プラント（例：不安定な熱方程式）を有する系に適用可能か？
• RQ5 レギュレータ方程式をどのように用いることで、出力制御およびセンサダイナミクス補償のための観測者設計を統一できるか？

主な発見

• 提示された観測者設計は、スペクトル解析および可逆変換を用いた証明により、抽象級連系における観測誤差の指数的収束を保証する。
• 本手法は、目標系構築やリャプノフ関数導出の必要がなく、PDEバックステッピング法の代替手段を提供する。
• OEDセンサダイナミクスを有する不安定な熱方程式に対して、観測者ゲインが正常に計算され、数値シミュレーションにより状態および出力推定誤差の滑らかで効果的な収束が確認された。
• システムの有限次元近似（N=1）は可観測であり、安定性を保証するヒューリッツゲイン行列が得られた。
• レギュレータ方程式による変換により、出力制御問題がセンサダイナミクス補償問題に正しく結びつけられ、統一的観測者設計が実現した。
• 時間刻み 4×10⁻⁵ および空間刻み 10⁻² を用いた数値結果により、状態および出力推定誤差の効果的かつ滑らかな収束が確認された。