[論文レビュー] Dynamics of holomorphic correspondences on Riemann Surfaces

Tien‐Cuong Dinh, Lucas Kaufmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン面上の正則対応について、前向きおよび後向きの位相的次数が等しい（すなわち $d_1 = d_2$）場合に、非弱モジュラー性条件のもとで、二つの標準的不変確率測度 $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ の存在を確立する。スペクトル性質をソボレフ空間で用いることで、この対称的ケースにおけるスペクトルギャップの欠如を克服し、一般の点の逆像と像がそれぞれ $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ へ指数的等分布することを証明する。

ABSTRACT

We study the dynamics of holomorphic correspondences $f$ on a compact Riemann surface $X$ in the case, so far not well understood, where $f$ and $f^{-1}$ have the same topological degree. Under a mild and necessary condition that we call non weak modularity, $f$ admits two canonical probability measures $μ^+$ and $μ^-$ which are invariant by $f^*$ and $f_*$ respectively. If the critical values of $f$ (resp. $f^{-1}$) are not periodic, the backward (resp. forward) orbit of any point $a \in X$ equidistributes towards $μ^+$ (resp. $μ^-$), uniformly in $a$ and exponentially fast.

研究の動機と目的

• 前向きおよび後向きの位相的次数が等しい場合の、コンパクトなリーマン面上の正則対応の力学を扱う。これは、これまで十分に理解されていなかったケースである。
• 非弱モジュラー性条件の下で、二つの標準的不変確率測度 $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ の存在を確立する。
• 一般の点の逆軌道と順軌道がそれぞれ $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ へ指数的等分布することを証明する。
• 対称的次数のケースにおけるスペクトルギャップの欠如を克服するため、ソボレフ空間におけるスペクトル法を開発する。

提案手法

• 測度構成を妨げるモジュラー型の振る舞いを除外するため、非弱モジュラー性の概念を導入する。
• 微分形式および測度上の引き戻し作用 $f^*$ と押し出し作用 $f_*$ を定義し、それらを用いて、正規化された反復作用の弱極限によって標準的測度 $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ を定義する。
• ソボレフ空間 $W^{1,2}$ 上での作用素のスペクトル性質を用いて、$\frac{1}{d^n}(f^n)^*\alpha \to c_\alpha \mu^{+}$ および $\frac{1}{d^n}(f^n)_*\alpha \to c_\alpha \mu^{-}$ の指数的収束を確立する。
• ポincare-Sobolev不等式と指数的減衰推定を用いて、反復関数のノルムの上界を評価し、一様かつ高速な収束を保証する。
• ホルダー連続性推定と作用素ノルムの制御を適用し、等分布速度の定量的評価を導出する。
• $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ がそれぞれ $f^*$ および $f_*$ に関して不変であることに着目し、問題を移動作用素のスペクトル的性質の分析に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的次数が等しい場合に、リーマン面上の正則対応に対して、標準的不変測度を構成できるか？
• RQ2 対称的次数のケースで、二つの異なる不変測度 $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 一般の点の逆像と像は、それぞれ $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ へどの程度の速さで等分布するか？
• RQ4 スペクトルギャップの欠如する系において、ソボレフ空間におけるスペクトル法をどのように適応できるか？
• RQ5 非弱モジュラー性の役割は、標準的測度の一意性および不変性を保証するために果たすか？

主な発見

• 非弱モジュラー性のもとで、$f^*$ および $f_*$ に関して不変であり、$f^*\mu^{+} = d\mu^{+}$ および $f_*\mu^{-} = d\mu^{-}$ を満たす二つの標準的確率測度 $\mu^{+}$ および $\mu^{-}$ が存在する。
• 任意の滑らかな $(1,1)$-形式 $\alpha$ について、正規化された引き戻しおよび押し出しは、$n \to \infty$ のときそれぞれ $c_\alpha \mu^{+}$ および $c_\alpha \mu^{-}$ へ指数的に収束する。
• もし $f$ の臨界値のいずれに対しても周期的でないならば、任意の点 $a \in X$ の逆像は、$a$ に一様に依存せず、$\mu^{+}$ へ指数的速さで等分布する。
• 等分布速度は、$\left|\left\langle d^{-n}(f^n)^*\delta_a - \mu^{+}, \varphi \right\rangle\right| \leq A^{+}_\beta \|\varphi\|_{\mathcal{C}^\beta} \lambda_+^{\beta n}$（$0 < \lambda_+ < 1$）で定量的に評価できる。
• 証明は、$\frac{1}{d}f^*$ および $\frac{1}{d}f_*$ がソボレフ空間 $W^{1,2}$ 上で持つスペクトル的性質に依存しており、スペクトルギャップの欠如を回避する手法を可能にする。
• 非弱モジュラー性条件がなければ、結果は成り立たないため、この条件は標準的測度の存在にとって必要かつ十分である。