[論文レビュー] Dynamics of Rogue Waves in the Partially PT-symmetric Nonlocal Davey-Stewartson Systems

Bo Yang, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ダーブォー変換法を用いて、部分的PT対称非局所ダビー＝スチュアートソン系における一般化された泥縄波解を導出する。その結果、基本的泥縄波は定常背景から生じ、空間内に全ヒューパーボリック上に有限時間内特異点を発展させる一方、マルチ泥縄波および新規ハイブリッドパターン波はダーク／アンチダーク有理的波との干渉から生じる。これは局所系とは異なる新たなダイナミクスを示す。

ABSTRACT

In this work, we study the dynamics of rogue waves in the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal Davey-Stewartson(DS) systems. Using the Darboux transformation method, general rogue waves in the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS equations are derived. For the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS-I equation, the solutions are obtained and expressed in term of determinants. For the partially $\cal{PT}$-symmetric DS-II equation, the solutions are represented as quasi-Gram determinants. It is shown that the fundamental rogue waves in these two systems are rational solutions which arises from a constant background at $t ightarrow -\infty$, and develops finite-time singularity on an entire hyperbola in the spatial plane at the critical time. It is also shown that the interaction of several fundamental rogue waves is described by the multi rogue waves. And the interaction of fundamental rogue waves with dark and anti-dark rational travelling waves generates the novel hybrid-pattern waves. However, no high-order rogue waves are found in this partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS systems. Instead, it can produce some high-order travelling waves from the high-order rational solutions.

研究の動機と目的

• 整合的非線形モデルに増幅と減衰がバランスされた非局所ダビー＝スチュアートソン系への拡張を考慮し、部分的PT対称非局所DS系における泥縄波ダイナミクスを調査すること。
• これらの非局所系に高次の泥縄波が存在するかどうかを、局所的および非局所的DS方程式における既知の解と対比して特定すること。
• 基本的泥縄波と有理的移動波との干渉によって生じるハイブリッドパターン波の出現を調査すること。
• 特に特異点挙動と時間発展に関して、非局所的DS系と局所的DS系における泥縄波のパラメータ条件および構造的性質を比較すること。
• 変数変換を用いて、不適切な非局所解と適切な局所解との間の関係を確立し、新たな解法の道筋を明らかにすること。

提案手法

• 部分的PT対称非局所DS-IおよびDS-II方程式に対する一般化有理的解を構築するために、ダーブォー変換（DT）法を適用する。
• 非局所DS-I方程式の解を行列式の形で表現し、非局所DS-II方程式の解を準グラム行列式として表現する。
• 二重ダーブォー変換を用いて非局所DS-II系の解を生成し、マルチ泥縄波およびハイブリッド波パターンの構築を可能にする。
• 有理的解におけるパrameterチューニングを用いて、基本的泥縄波の空間時間的発展、特に臨界時における特異挙動を分析する。
• 変数変換（例：$x \to -ix$, $t \to -t$）を適用し、不適切な非局所解を適切な局所解（例：局所DS-I方程式における高次泥縄波）に結びつける。
• 解の特異点構造を分析し、基本的泥縄波では空間平面上の全ヒューパーボリック上に有限時間内爆発が生じることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的PT対称非局所DS系における基本的泥縄波は有限時間内特異点を示すか。その場合、特異点はどのような空間的構造上に現れるか？
• RQ2 これらの非局所系にマルチ泥縄波解を構築可能か。また、その特異時間点は局所系とどのように異なるか？
• RQ3 基本的泥縄波とダークおよびアンチダーク有理的移動波との干渉から、どのような新規波動パターンが生じるか？
• RQ4 部分的PT対称非局所DS系に高次泥縄波が存在するか。それとも、有理的解から高次移動波が生じるか？
• RQ5 非局所系における泥縄波生成のパラメータ条件は、局所的DS方程式と比較してどのように異なるか。特に非線形性の符号$\epsilon$に関して。

主な発見

• 部分的PT対称非局所DS-IおよびDS-II系における基本的泥縄波は、定常背景から生じる有理的解であり、空間平面上の全ヒューパーボリック上に有限時間内特異点を発展させる。
• 多様な有理的解から生成されるマルチ泥縄波解は、特異時間点が対または時間間隔に現れ、局所系における単一時間点爆発とは異なる。
• ダークおよびアンチダーク有理的移動波と組み合わされた基本的泥縄波を含む新規ハイブリッドパターン波が発見され、三つの異なる波動パターンを有する解が得られた。これは、従来の局所的または非局所的DS系では報告されていなかった。
• 部分的PT対称非局所DS系には高次泥縄波は存在しない。代わりに、高次有理的解から高次移動波が生じる。
• 非局所DS-II系における全時間特異点を有する不適切な解は、簡単な変数変換により、局所DS-I方程式における適切な高次泥縄波に変換可能である。
• 非局所DS-I系では$\epsilon = \pm 1$の両方で泥縄波が存在するが、局所DS-II系では$\epsilon = 1$でのみ存在する。これはパrameter依存性における重要な差を示している。