[論文レビュー] Dynamics of several rigid bodies in a two-dimensional ideal fluid and convergence to vortex systems

Olivier Glass, Franck Sueur|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元非圧縮性理想流体内の複数の剛体の運動を研究し、特定の慣性スケーリングのもとで一部の物体のサイズがゼロに近づく極限において、それらの運動が点渦系に収束することを証明している。一方、より大きな物体はニュートン力学に従う。主な結果として、新規の正規形解析と一様な流体速度推定を用いて、正確な漸近的挙動を伴う連成流体-渦系への収束を確立している。

ABSTRACT

We consider the motion of several solids in a bounded cavity filled with a perfect incompressible fluid, in two dimensions. The solids move according to Newton's law, under the influence of the fluid's pressure, and the fluid dynamics is driven by the 2D incompressible Euler equations, which are set on the time-dependent domain corresponding to the cavity deprived of the sets occupied by the solids. We assume that the fluid vorticity is initially bounded and that the circulations around the solids may be non-zero. The existence of a unique corresponding solution, \\`a la Yudovich, to this system, up to a possible collision, is known. In this paper we identify the limit dynamics of the system when the radius of some of the solids converge to zero depending on how, for each body, the inertia is scaled with the radius. We obtain in the limit some point vortex systems for the solids converging to particles and a form of Newton's law for the solids that have a fixed radius; for the fluid we obtain an Euler-type system. This extends earlier works to the case of several moving rigid bodies. A crucial point is to understand the interaction, through the fluid, between small moving solids, and for that we use some normal forms of the ODEs driving the motion of the solids in two steps: first we use a normal form for the system coupling the time-evolution of all the solids to obtain a rough estimate of the acceleration of the bodies, then we turn to some normal forms that are specific to each small solid, with an appropriate modulation related to the influence of the other solids and of the fluid vorticity, to obtain some precise uniform a priori estimates of the velocities of the bodies, and then pass to the limit.

研究の動機と目的

• 剛体の半径がゼロに近づく極限における、2次元非圧縮性理想流体内の複数の剛体の運動の極限的力学を分析すること。
• 単一物体の極限に関する先行研究を、流体が物体間に相互作用を及えるため解析が複雑化する多体系に拡張すること。
• 各小さな物体の慣性が半径とともにどのようにスケーリングされるかに応じて、点渦またはニュートン的力学という異なる極限的挙動を同定すること。
• 連成流体-固体系を扱うために、正規形と一様な流体速度推定に基づく新しい解析的枠組みを構築すること。
• スケーリング極限下で厳密に極限に移行し、流体および固体の運動が明確に定義された渦系およびEuler型方程式に収束することを確立すること。

提案手法

• 初期渦度が有界で、循環が非ゼロである2次元流体-固体系に対して、Yudovich型の存在理論を、時間に依存する領域に適用すること。
• 2段階の正規形還元の導入：まず固体の連成系に対して、次に各小さな固体に対して個別に正規形を適用し、加速度を推定すること。
• 小さな固体が存在する中でのKirchhoffポテンシャルおよび反射循環ストリーム関数の形状微分推定の適用。
• 固体に対する流体速度場の均一推定の導出。これは、所定の循環を有する発散・回転型系に対する反射法を精緻化したものである。
• スケーリング極限下での系の時間発展を制御するためのモジュレートエネルギー推定の使用。
• コンパクトネスの議論と時間局所的収束解析を用いて、コンパクト時間区間上で流体および固体方程式の極限への移行を実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剛体の半径がゼロに近づく極限において、2次元非圧縮性流体内の複数の剛体の運動はどのように振る舞うか？
• RQ2 慣性がサイズに異なる方法でスケーリングされる小さな固体の極限的力学は何か？特に、重い物体と軽い物体の場合を想定する。
• RQ3 複数の動く固体間の流体媒介相互作用は、渦系への収束にどのように影響するか？
• RQ4 標準的な単一物体極限の技法を多体系に拡張できるか、それとも新たな解析的ツールが必要か？
• RQ5 固体の位置および半径に対して流体速度を一様に制御することが、渦極限への収束を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 半径がゼロに近づく小さな剛体の極限的力学は、その慣性のスケーリングに依存する：軽い物体は点渦に収束し、重い物体はニュートン的力学に従う。
• 固定された大きさの固体に対しては、極限系が2次元Euler方程式と結合された形でニュートンの法則を満たす。
• 流体速度場は、極限的な固体位置の補集合上で、2次元Euler方程式の解に一様に収束する。
• 収束は、極限系が衝突を避け、固体が流体の渦度支持から正の距離を保つ限り、任意のコンパクト時間区間 $[0,T]$ で成立する。
• 証明は、新規の2段階正規形還元と、固体の位置および半径に対して一様な流体速度の推定に依存している。
• 解析により、極限系が元の流体-固体系と同様の条件下で適切に定義されることを確認した。ただし、極限で衝突が発生しないことが前提である。