[論文レビュー] Dynamics on the PSL(2,C)-character variety of a twisted I-bundle

Michelle Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非可換な双曲的表面上のねじれIバンドル$M$の$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体上での$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の作用の不連続領域をより広く確立する。$AH(M)$の内部を厳密に含む、原始的安定な表現の集合$\mathcal{PS}(M)$を導入し、その上で$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の作用が正しく不連続であることを証明する。主な結果は、この不連続領域の外にある離散的かつ忠実な表現を正確に同定することである：それらは、ある原始的要素が抛物型要素へ写像されるものである。

ABSTRACT

Let M be a twisted interval bundle over a nonorientable hyperbolizable surface. Let X(M) be the PSL(2,C)-character variety of π_1(M). We examine the dynamics of the action of Out(π_1(M)) on X(M), and in particular, we find an open set on which the action is properly discontinuous that is strictly larger than the interior of the deformation space of marked hyperbolic manifolds homotopy equivalent to M. Further, we identify which discrete and faithful representations can lie in a domain of discontinuity for the action of Out(π_1(M)) on X(M).

研究の動機と目的

• ねじれIバンドルの非可換な双曲的表面上での$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体$\mathcal{X}(M)$上での力学的性質を理解すること。
• $AH(M)$の内部よりも厳密に大きな不連続領域を有する$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-作用の不連続領域を同定すること。
• $AH(M)$内の離散的かつ忠実な表現のうち、どの表現が不連続領域に属するか、属しないかを同定すること。
• 可換な表面群と非可換な表面群の特徴的多様体上での$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の作用における動的差を明確にすること。

提案手法

• 原始的要素の作用における測地線の幾何的安定性に基づく、原始的安定表現の集合$\mathcal{PS}(M)$を定義し、その性質を研究する。
• $AH(M)$の内部のパラメトライゼーションを用いて、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-作用が$\mathcal{PS}(M)$上で正しく不連続であることを示す。
• ボナホンの有界直径補題を適用し、双曲多様体内の圧縮不能な曲面の幾何を制御し、原始的安定条件が成立しない場合に矛盾を導く。
• ミンスキーの結果を活用し、本質的円柱のコア曲線の像が抛物型であると、表現がいかなる不連続領域にも属しないことになることを示す。
• 相対的コンパクトコアと$\pi_1$-単射な曲面の構造を用いた位相的議論により、本質的メビウスバンドルに対して抛物型像が生じえないことを除外する。
• 正則トレース写像と強凸コンパクト表現の稠密性を用いて、抛物型表現の近傍に無限大安定化部分群を持つ点が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の$\mathcal{X}(M)$上での不連続領域は、ねじれIバンドルにおいて$AH(M)$の内部よりも厳密に広げられるか？
• RQ2 $AH(M)$内の離散的かつ忠実な表現のうち、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-作用のいかなる不連続領域にも属さないのはどのようないくつか？
• RQ3 非可換な表面群と可換な表面群の間で、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の$\mathcal{X}(M)$上での作用の力学的性質にはどのような差があるか？
• RQ4 原始的安定表現を用いて、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$の最大不連続領域を構成できるか？
• RQ5 表現がいかなる不連続領域の外にあることを保証する、位相的または幾何的条件は何か？

主な発見

• $\mathcal{PS}(M)$は、$\mathcal{X}(M)$の開集合であり、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-不変である。この上での$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-作用は正しく不連続である。
• 不連続領域$\mathcal{PS}(M)$は、$AH(M)$の内部を厳密に含み、境界$\partial AH(M)$上にある特定の点を含む。
• 表現$[\rho] \in AH(M)$が$\mathcal{PS}(M)$に属するための必要十分条件は、任意の原始的要素$g \in \pi_1(M)$に対して$\rho(g)$が抛物型でないことである。
• ある原始的要素$g$に対して$\rho(g)$が抛物型であるような任意の表現$[\rho] \in AH(M)$は、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-作用のいかなる不連続領域にも属しない。
• この結果により、$AH(M)$内の純粋に双曲的表現はすべて$\mathcal{PS}(M)$に属することが示される。なぜなら、それらは原始的要素を抛物型に写さないからである。
• 可換な表面上の自明なIバンドルでは、$AH(M)$の境界点はいかなる不連続領域にも属さないが、ねじれIバンドルとは著しく対照的である。