[論文レビュー] $E_{0}^{P}$-semigroups and product systems

S. P. Murugan, S. Sundar|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^n$ 内の点付きで生成する凸錐 $P$ によって添え字づけられた $E_0^P$-semigroup にアーヴェソンの $E_0$-semigroup 理論を拡張する。関連する積系が、コycle共役性に関して $E_0^P$-semigroup を完全に分類することを確立し、ラプラス変換と双対錐を用いた可測性から連続性への正則性を一般化し、アーヴェソンの分類枠組みをより広範な半群構造へと拡張する。

ABSTRACT

Let $P$ be a closed convex cone in $\mathbb{R}^{n}$. Assume that $P$ is spanning i.e. $P-P=\mathbb{R}^{n}$ and pointed i.e. $P \cap -P=\{0\}$. Let $α:=\{α_{x}:x \in P\}$ be a $σ$-weakly continuous family of unital normal endomorphisms on $B(H)$. Denote the "product system" associated to $α$ by $\mathcal{E}_α$. We show that $\mathcal{E}_α$ is a concrete product system and $α$, up to cocycle conjugacy, can be recovered completely from $\mathcal{E}_α$

研究の動機と目的

• 閉じた、点付きで生成する凸錐 $P \subset \mathbb{R}^n$ を添え字とする $E_0^P$-semigroup に、$\mathbb{R}_+$ からアーヴェソンの $E_0$-semigroup 分類プログラムを一般化すること。
• $E_0^P$-semigroup に関連する積系が、コycle共役性に関して完全不変量であることを確立すること。
• 半群 $C^*$-代数のアイデアと作用素代数技法を統合するために、より一般な半群に枠組みを拡張すること。
• $\sigma$-弱可測な $E_0^P$-semigroup が必然的に連続であることを、凸解析およびラプラス変換法を用いて証明すること。

提案手法

• $E_0^P$-semigroup を、$\mathbb{R}^n$ 内の閉じた、点付きで生成する凸錐 $P \subset \mathbb{R}^n$ によって添え字づけられた、$B(\mathcal{H})$ 上のユニタルで正規な自己準同型の $\sigma$-弱連続族として定義する。
• 半群作用から導かれる結合的積構造を持つ、ヒルベルト空間の可測場としての積系 $\mathcal{E}_\alpha$ を構成する。
• 凸錐 $P$ 上の関数のラプラス変換と双対錐の性質を用いて、可測 $E_0^P$-semigroup が連続であることを証明する。
• 錐 $P$ とその双対錐の双対性を用いて、行列係数 $x \mapsto \langle \rho | \alpha_x(A) \rangle$ の正則性を分析する。
• 可測選択定理と $\sigma$-弱可測性を用いて、$P$ の内部 $\Omega$ 上で等長作用素とユニタリ作用素を構成し、その後 $P$ に連続に拡張する。
• 標準的な可測場理論の結果（例えば、可測な等長作用素族の存在）を活用して、積系から元の半群を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーヴェソンの $E_0$-semigroup 分類枠組みは、一般の凸錐 $P \subset \mathbb{R}^n$ を添え字とする $E_0^P$-semigroup へと拡張可能か？
• RQ2 $E_0^P$-semigroup に関連する積系は、コycle共役性に関して完全不変量か？
• RQ3 $\sigma$-弱可測性が $\sigma$-弱連続性を示唆するのか、したがって正則性が保証されるのか？
• RQ4 凸解析およびラプラス変換法を用いて、作用素半群における可測構造と連続構造をどのように接続できるか？

主な発見

• $E_0^P$-semigroup $\alpha$ に関連する積系 $\mathcal{E}_\alpha$ は、結合的積構造を持つ具体的な可測ヒルベルト空間の族であり、コycle共役性に関して $\alpha$ を完全に決定する。
• $\sigma$-弱可測な $E_0^P$-semigroup は、凸錐 $P$ 上でのラプラス変換と双対性を用いて、必然的に $\sigma$-弱連続であることが示された。
• $P$ の内部 $\Omega$ は $P$ で稠密であり、$\Omega$ 上での半群の振る舞いは $\sigma$-弱コンパクト性と連続性の議論により $P$ に一意に拡張可能である。
• $\Omega$ 上での等長作用素およびユニタリ作用素の構成は $P$ に連続に拡張可能であり、すべての $x \in P$ に対して明確に定義された等長作用素族 $\widetilde{U}_x$ の存在を保証する。
• 積系 $\mathcal{E}_\alpha$ は、$B(\mathcal{H} \otimes \mathcal{K})$ 上の $\alpha \otimes \text{id}$ の積系と同型であり、このことからこのような摂動は元の半群とコycle共役であることが示される。