[論文レビュー] E-polynomials of $PGL(2,\mathbb{C})$-character varieties of surface groups

Javier Martínez|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1つの穴あきをもつ genus $g$ の曲面群に対して、任意のモノドロミーをもつ $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体の E-多項式を、ファイブレーションと分割に基づく幾何的技法を用いて計算している。主な貢献は、$q = uv$ を用いた明示的な E-多項式の公式であり、Langlands双対の $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ の場合と比較することで、ホッジモノドロミー表現に記録された差異が明らかになる。

ABSTRACT

In this paper, we compute the E-polynomials of the $PGL(2,\mathbb{C})$-character varieties associated to surfaces of genus $g$ with one puncture, for any holonomy around it, and compare it with its Langlands dual case, $SL(2,\mathbb{C})$. The study is based on the stratification of the space of representations and on the analysis of the behaviour of the E-polynomial under fibrations.

研究の動機と目的

• コンpakto なリーマン面の genus $g$ で1つの穴あきをもち、任意のモノドロミーをもつ $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体の E-多項式を計算すること。
• これらの E-多項式を Langlands双対の $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体の E-多項式と比較すること。
• 表現空間のファイブレーションと分割を通じて、これらのモジュライ空間の幾何学的・算術的構造を理解すること。
• 特徴多項式の基底上のファイブレーションにおけるモノドロミーの変化に伴う E-多項式の変動と、ホッジモノドロミー表現との関係を確立すること。
• 対称群作用を介して、$\operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ および $\operatorname{PGL}(n,\mathbb{C})$ の高ランク群への E-多項式差分公式の一般化を予想すること。

提案手法

• 解析的位相で局所的に自明なが、ザリスキ位相ではそうではないファイブレーションの性質を活用し、E-多項式がこのようなファイブレーションの下でどのように振る舞うかを用いる幾何的アプローチを採用する。
• トレース写像と $\mathbb{Z}_2^{2g}$ の $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体への作用を用いた明示的分割により、表現空間を分割し、$\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体を商として得る。
• モノドロミー $C$ が $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 内を変化する際の E-多項式の変動を記録するため、ホッジモノドロミー表現を適用する。特に $C = \operatorname{Id}, -\operatorname{Id}, J_{\pm}, \xi_\lambda$ の場合に注目する。
• カッツの定理にインspiredされた算術的技法を用い、有限体上の点の数え上げにより、E-多項式を混合ホッジ多項式の特殊化として計算する。
• 低 genus および自由群の既存結果に基づき、genus $g$ における E-多項式の再帰的・帰納的公式を導出する。
• 非可換ホッジ対応とリーマン＝ヒルベルト写像に依拠し、ドルベール、ド・ラーム、ベッティのモジュライ空間を関連づけ、モノドロミー写像が代数的でないことに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの穴あきをもち、任意のモノドロミーをもつ genus $g$ の曲面に対する $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体の明示的 E-多項式は何か？
• RQ2 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体の E-多項式は、Langlands双対の $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-特徴的多様体のそれとどのように異なるか？
• RQ3 穴あきにおけるモノドロミーが変化する際の E-多項式の変動を裏付ける幾何学的およびモノドロミー的構造は何か？
• RQ4 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ と $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$ の E-多項式の差分は、ホッジモノドロミー表現に記録できるか？
• RQ5 高ランク群 $\operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ および $\operatorname{PGL}(n,\mathbb{C})$ において、このような E-多項式の差分に一般パターンは存在するか？

主な発見

• $\mathcal{M}_{\operatorname{Id}}^{g}(\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C}))$ の E-多項式は、$e(\mathcal{M}_{\operatorname{Id}}^{g}) = (q^{3}-q)^{2g-2} + (q^{2}-1)^{2g-2} - q(q^{2}-q)^{2g-2} - q^{2g-2} + \frac{1}{2}q^{2g-1}((q-1)^{2g-2} + (q+1)^{2g-2}) + \frac{1}{2}q((q+1)^{2g-1} + (q-1)^{2g-1})$ で与えられる。
• $C = -\operatorname{Id}$ の場合、E-多項式は $e(\mathcal{M}_{-\operatorname{Id}}^{g}) = (q^{3}-q)^{2g-2} + (q^{2}-1)^{2g-2} - \frac{1}{2}((q^{2}+q)^{2g-2} + (q^{2}-q)^{2g-2})$ である。
• 単位的モノドロミー $J_{+} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ の場合、E-多項式は $e(\mathcal{M}_{J_{+}}^{g}) = (q^{2}-1)(q^{3}-q)^{2g-2 \\} + \frac{1}{2}(-q(q+1)(q^{2}+q)^{2g-2} + (q-2)(q-1)(q^{2}-q)^{2g-2})$ である。
• $J_{-} = \begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ の場合、E-多項式は $e(\mathcal{M}_{J_{-}}^{g}) = (q^{2}-1)(q^{3}-q)^{2g-2} + \frac{1}{2}((q+1)(q^{2}+q)^{2g-2} - (q-1)(q^{2}-q)^{2g-2})$ である。
• 正則半単純 $\xi_\lambda = \operatorname{diag}(\lambda, \lambda^{-1})$、$\lambda \neq 0, \pm 1$ の場合、E-多項式は $e(\mathcal{M}_{\lambda}^{g}) = (q^{2}+q)(q^{3}-q)^{2g-2} + (q+1)(q^{2}-1)^{2g-2} - q(q^{2}-q)^{2g-2}$ である。
• $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ と $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$ の E-多項式の差分は、ホッジモノドロミー表現 $R(\overline{X}_4 / \mathbb{Z}_2) = a^g T + c^g S_2 + b^g S_{-2} + d^g S_0$ の係数によって完全に記述され、$e_i - \tilde{e}_i$ の $q$, $g$, およびモノドロミー型に依存する明示的公式が得られる。