[論文レビュー] E7 groups from octonionic magic square

Sergio L. Cacciatori, Francesco Dalla Piazza+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、八元数の魔法の正方形構成を用いて、コンpactな例外的リー群 $E_7$ の明示的行列実現を提示し、その最大コンパクト部分群—$U=(E_6\times U(1))/\mathbb{Z}_3$、$SU(8)/\mathbb{Z}_2$、および $(\mathrm{Spin}(12)\times SU(2))/\mathbb{Z}_2^2$—に基づく一般化されたオイラー角パrameterizationを提供する。主な貢献は、随伴表現（133次元）および基本表現（56次元）における $E_7$ の完全で計算可能なパrameterizationの確立であり、これによりハア測度の明示的計算が可能となり、ブラックホール物理学および格子ゲージ理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we continue our program, started in [2], of building up explicit generalized Euler angle parameterizations for all exceptional compact Lie groups. Here we solve the problem for E7, by first providing explicit matrix realizations of the Tits construction of a Magic Square product between the exceptional octonionic algebra J and the quaternionic algebra H, both in the adjoint and the 56 dimensional representations. Then, we provide the Euler parametrization of E7 starting from its maximal subgroup U=(E6 x U(1))/Z3. Next, we give the constructions for all the other maximal compact subgroups.

研究の動機と目的

• 八元数の魔法の正方形とティーツ構成を用いて、コンパクトな例外的リー群 $E_7$ の明示的行列実現を提供すること。
• 特に $U=(E_6\times U(1))/\mathbb{Z}_3$ を用いた $E_7$ の一般化されたオイラー角パrameterizationを構築すること。
• 非摂動的格子ゲージ理論およびブラックホールアトラクター力学に不可欠な、$E_7$ のハア測度およびパラメータ範囲の明示的計算を可能にすること。
• 以前の研究で始まったプログラムをすべての例外的コンパクトリー群に拡張し、$E_7$ の場合を完遂すること。
• 133および56表現における計算ツールをマセマティカを用いて提供し、物理および数学分野におけるさらなる応用を支援すること。

提案手法

• 八元数代数 $\mathfrak{J}$ とハイパースルーブ代数 $\mathbb{H}$ を用いたティーツ構成により、リー代数 $\mathfrak{e}_7$ を構成し、随伴表現（133次元）および基本表現（56次元）における明示的行列形式を導出する。
• 根系の分解とカルタン＝ヴェイの基底技術を用いて、最大部分群 $U=(E_6\times U(1))/\mathbb{Z}_3$ から出発し、$E_7$ の一般化されたオイラーパラメータ表示を導出する。
• ユニタリ・ウェイのテクニックを適用して、$E_{7(7)}$ および $E_{7(-5)}$ を含む $E_7$ の実形式とその関連対称空間を構成する。
• カルタン部分代数および根空間分解の正規直交基底を用いて、随伴表現のヤコビアン行列式を計算し、パrameter空間におけるハア測度を導出する。
• 正根の構造および根ベクトル $J_\beta^\pm$ の性質を活用して、パラメータ依存ヤコビアンを、パラメーターベクトル $\vec{y}$ における根の評価の正弦の積として表現する。
• マセマティカを用いて構成を実装し、133および56表現の公開可能なコードを提供し、再現性およびさらなる計算を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 八元数の魔法の正方形構成を用いて、コンパクトな例外的リー群 $E_7$ をどのように明示的に行列群として実現できるか？
• RQ2 $(E_6\times U(1))/\mathbb{Z}_3$ を基にした $E_7$ の一般化されたオイラー角パラメータ表示は何か？
• RQ3 パラメータ表示から、$E_7$ のハア測度をどのように明示的に計算できるか。また、パラメータの範囲は何か？
• RQ4 133および56表現における $E_7$ の行列実現は何か。また、ティーツ構成とどのように関係しているか？
• RQ5 同様の枠組みを用いて、$E_{7(7)}$ や $E_{7(-5)}$ などのさまざまな実形式をどのように構成できるか？

主な発見

• 本稿は、八元数およびハイパースルーブ代数にティーツ構成を適用することにより、133次元の随伴表現における $E_7$ の完全な行列実現を提供する。
• 最大部分群 $(E_6\times U(1))/\mathbb{Z}_3$ から出発する一般化されたオイラーパラメータ表示が構築され、根系解析から明示的なパラメータ範囲が導出された。
• $E_7$ のハア測度は、パラメータの線形形式の正弦の積として表され、$|f(\vec{y})| = \prod_{\beta \in \mathrm{Rad}^+} \sin\left|\sum_a y^a \beta(D_a)\right|$ と表現され、明示的な積分が可能になる。
• 56次元の基本表現が明示的に実現され、正根に対応する根ベクトル $J_\beta^\pm$ の基底が与えられ、根系の構造が完全に詳細化された。
• ユニタリ・ウェイのテクニックを用いて、非コンパクト実形式 $E_{7(7)}$ および $E_{7(-5)}$ への拡張がなされ、$E_{7(-5)}$ の最大コンパクト部分群 $K = \mathrm{SO}(4)\times\mathrm{SU}(2)\times\mathbb{Z}_2^4$ が同定された。
• 133および56表現のマセマティカコードが、www.dfm.uninsubria.it/E7/ にて公開され、計算応用を支援する。