[論文レビュー] The Structure of E6

Aaron Wangberg|ArXiv.org|Nov 21, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、素粒子物理学および一般化されたローレンツ群に関連する重要性から、例外的リー代数E6の実形式であるsl(3,O)の部分代数構造を調査する。非可換性を扱うために、明示的な群表現と修正されたリー代数技法を用い、sl(n,F)、su(n,F)、および一般化されたローレンツ代数などの主要な部分代数を同定し、E6に対して6つの独立したカシミール不変量をもたらすネストされたカシミール作用素の系列を構成する。

ABSTRACT

We present the subalgebra structure of sl(3,O), a particular real form of E6 chosen for its relevance to particle physics through the connection between its associated Lie group SL(3,O) and generalized Lorentz groups. Given the complications related to the non-associativity of the octonions O and the restriction to working with a real form of E6, we find that the traditional methods used to study Lie algebras must be modified for our purposes. We use an explicit representation of the Lie group SL(3,O) to produce the multiplication table of the corresponding algebra sl(3,O). Both the multiplication table and the group are then utilized to find subalgebras of sl(3,O). In particular, we identify various subalgebras of the form sl(n, F) and su(n, F) within sl(3,O) and we also find algebras corresponding to generalized Lorentz groups. Methods based upon automorphisms of complex Lie algebras are developed to find less obvious subalgebras of sl(3,O). While we focus on the subalgebra structure of our real form of E6, these methods may also be used to study the subalgebra structure of any other real form of E6. A maximal set of simultaneously measurable observables in physics corresponds to a maximal set of Casimir operators in the Lie algebra. We not only identify six Casimir operators in E6, but produce a nested sequence of subalgebras and Casimir operators in E6 containing both su(3)+su(2)+u(1) corresponding to the Standard Model and the Lorentz group of special relativity.

研究の動機と目的

• 重力と標準模型の統一における物理的関連性から、E6の実形式であるsl(3,O)の部分代数構造を分析すること。
• 非可換性を示すオクタニオンを含む非可換除法代数上でのリー代数の構築および解析に伴う課題を克服すること。
• sl(3,O)内に埋め込める物理的に重要な部分代数、例えばsu(3) × su(2) × u(1)やローレンツ代数を同定すること。
• E6の実形式における明らかでない部分代数を発見するための自己同型に基づく手法を開発すること。
• 標準模型のゲージ代数su(3) × su(2) × u(1)とローレンツ代数を含む最大の部分代数鎖を構築し、それに応じたカシミール作用素の階層を構成すること。

提案手法

• リー群SL(3,O)の明示的行列表現を構築し、それに対応するリー代数sl(3,O)の乗法表を導出すること。
• 乗法表と群構造を用いて、sl(n,F)およびsu(n,F)形式の部分代数を体系的に同定すること。
• 複素リー代数からの自己同型技法を応用し、直ちには明らかでないsl(3,O)内の非自明な部分代数を同定すること。
• オクタニオンの非可換性に対応させるために、構造定数や閉包関係の定義を含め、標準的なリー代数手法を修正すること。
• 標準模型ゲージ代数su(3) × su(2) × u(1)およびローレンツ代数を最大部分代数鎖に埋め込み、カシミール作用素の階層を分析すること。
• ネストされた部分代数構造と群論的解析を通じて、E6に6つの独立したカシミール作用素が存在することを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オクタニオンの非可換性を考慮すると、sl(3,O)の完全な部分代数構造は何か？
• RQ2 基礎代数が非可換である場合、標準的なリー代数技法をE6の実形式を研究するためにどのように適合できるか？
• RQ3 su(3) × su(2) × u(1) やローレンツ代数といった物理的に関連のある部分代数は、sl(3,O)に埋め込めるか？
• RQ4 E6における同時に測定可能な観測量の最大集合とは何か？ そしてそれはカシミール作用素とどのように関係するか？
• RQ5 標準模型とローレンツ群を含むネストされた部分代数鎖を構築できるか？ それに対応するカシミール作用素の階層は何か？

主な発見

• 論文は、sl(3,O)内にsl(n,F)およびsu(n,F)形式の複数の部分代数を同定し、特にsu(3) × su(2) × u(1)の最大埋め込みを示した。
• 一般化されたローレンツ代数がsl(3,O)の部分代数として同定され、相対論的時空対称性と関連した構造が示された。
• 標準模型代数から出発し、E6全体へと至るネストされた部分代数鎖が構築され、各段階でカシミール作用素が保存された。
• E6に6つの独立したカシミール不変量が明示的に同定され、同時に測定可能な観測量の最大集合に対応した。
• 自己同型に基づく部分代数探索法は、標準的分解手法を超えて、sl(3,O)内に明らかでない部分代数を効果的に発見した。
• 解析により、実形式sl(3,O)は素粒子物理学および相対性理論と両立する豊富な代数的構造を支持することが確認され、その物理的関連性が裏付けられた。