[論文レビュー] Echoing the recent Google success: Foundational Roots of Quantum Supremacy

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、量子計算的優位性がもつれや非局所性に起因するのではなく、ボーリングの補完性原理（PCOM）に起因することを主張している。PCOMにより、量子アルゴリズムは量子確率計算を用いて、指数的コストがかかる連合確率分布（jpd）の計算を回避できる。干渉項を含む量子的全確率の公式を活用することで、確率の構成的干渉が実現され、線形ダイナミクスと離散的測定結果を通じて計算の高速化が達成される。

ABSTRACT

The recent Google's claim on breakthrough in quantum computing is a gong signal for further analysis of foundational roots of (possible) superiority of some quantum algorithms over the corresponding classical algorithms. This note is a step in this direction. We start with critical analysis of rather common reference to entanglement and quantum nonlocality as the basic sources of quantum superiority. We elevate the role of the Bohr's {\it principle of complementarity}\footnote{} (PCOM) by interpreting the Bell-experiments as statistical tests of this principle. (Our analysis also includes comparison of classical vs genuine quantum entanglements.) After a brief presentation of PCOM and endowing it with the information interpretation, we analyze its computational counterpart. The main implication of PCOM is that by using the quantum representation of probability, one need not compute the joint probability distribution (jpd) for observables involved in the process of computation. Jpd's calculation is exponentially time consuming. Consequently, classical probabilistic algorithms involving calculation of jpd for $n$ random variables can be over-performed by quantum algorithms (for big values of $n).$ Quantum algorithms are based on quantum probability calculus. It is crucial that the latter modifies the classical formula of total probability (FTP). Probability inference based on the quantum version of FTP leads to constructive interference of probabilities increasing probabilities of some events. We also stress the role the basic feature of the genuine quantum superposition comparing with the classical wave superposition: generation of discrete events in measurements on superposition states. Finally, the problem of superiority of quantum computations is coupled with the quantum measurement problem and linearity of dynamics of the quantum state update.

研究の動機と目的

• 量子優位性がもつれや量子非局所性に起因すると広く考えられているのを挑戦すること。
• 量子優位性の基盤をボーリングの補完性原理（PCOM）に再定式化すること。
• 量子アルゴリズムがn個の確率変数のための指数的連合確率分布（jpd）計算を回避することで、古典的手法を上回ることを示すこと。
• 全確率の公式における干渉の観点から、量子確率計算と計算効率との間の関係を確立すること。
• 古典的波の重ね合わせと真の量子重ね合わせの違いを明確にすること。特に、離散的測定結果が鍵となることを強調すること。

提案手法

• ベル実験をボーリングの補完性原理（PCOM）の統計的検証として解釈し、情報理論的用語で根拠づける。
• PCOMの計算的影響を分析し、n個の確率変数のための連合確率分布（jpd）の計算を回避できる量子確率計算の仕組みを示す。
• 干渉項を含む量子的全確率の公式（FTP）を適用し、望ましい結果の確率を増加させる構成的干渉を可能にする。
• 古典的確率的アルゴリズムは、jpd計算のためのブール部分代数を統合するために指数的時間が必要であるのに対し、量子アルゴリズムは部分ブール代数の上に直接作用することを対比する。
• 量子論理を古典論理の非分配的一般化として扱い、計算的優位性の背後にある構造的差異である分配則の破れを強調する。
• 量子状態のダイナミクスの線形性と測定結果の離散性が、計算の高速化に不可欠であると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜもつれは量子計算的優位性の説明として不十分なのか？
• RQ2 ボーリングの補完性原理（PCOM）は、もつれや非局所性よりも、なぜ量子優位性のより基礎的根拠となるのか？
• RQ3 干渉項を含む量子的全確率の公式は、古典的jpd計算と比べてどのように計算の高速化を実現するのか？
• RQ4 離散的測定結果は、古典的波の重ね合わせと真の量子重ね合わせをどう区別するか？
• RQ5 量子論理の非分配的構造は、古典的ブール論理よりも具体的な計算的優位性を提供できるのか？

主な発見

• 量子アルゴリズムは、nが大きい場合に連合確率分布（jpd）の指数的コストを回避することで、古典的確率的アルゴリズムを上回ることができる。
• 量子的全確率の公式には干渉項が含まれており、これにより構成的干渉が可能になり、古典的確率的推論なしに望ましい結果の確率を増加させることができる。
• ボーリングの補完性原理（PCOM）は、量子系がjpd計算を回避できることを正当化する基盤的枠組みを提供し、量子優位性の中心的役割を果たす。
• 真の量子重ね合わせは離散的測定結果を生成するが、古典的波の重ね合わせとは異なり、これが計算的優位性の鍵となる。
• 量子状態の進化の線形性とPCOMにおける完全性仮定は、効率的な量子計算を可能にするために不可欠である。
• 量子論理は古典論理の非分配的一般化として、量子アルゴリズムの計算的パワーの背後にある可能性を示唆するが、その正確なメカニズムはアルゴリズム構造のさらなる分析を要する。