[論文レビュー] Edge exchangeable models for network data

Harry Crane, Walter Dempsey|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 37被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、エッジ（辺）が統計的単位であるエッジ交換可能なモデルをネットワークデータに対して導入する。これにより、スパースでパワー則に従う次数分布の現実的なモデル化が可能になる。フレームワークはエッジタイプ上の確率測度を用い、交換可能なエッジラベル付きネットワークを生成し、推論が容易で理論的性質が強い非パラメトリックなモデルクラスをもたらす。

ABSTRACT

Exchangeable models for countable vertex-labeled graphs cannot replicate the large sample behaviors of sparsity and power law degree distribution observed in many network datasets. Out of this mathematical impossibility emerges the question of how network data can be modeled in a way that reflects known empirical behaviors and respects basic statistical principles. We address this question by observing that edges, not vertices, act as the statistical units in networks constructed from interaction data, making a theory of edge-labeled networks more natural for many applications. In this context we introduce the concept of {\em edge exchangeability}, which unlike its vertex exchangeable counterpart admits models for networks with sparse and/or power law structure. Our characterization of edge exchangeable networks gives rise to a class of nonparametric models, akin to graphon models in the vertex exchangeable setting. Within this class, we identify a tractable family of distributions with a clear interpretation and suitable theoretical properties, whose significance in estimation, prediction, and testing we demonstrate.

研究の動機と目的

• スパース性やパワー則に従う次数分布といった実世界のネットワーク特性を再現できない、頂点交換可能なモデルの根本的限界を克服すること。
• 特に電子メール、共同作業、社会的相互作用といった相互作用ベースのデータを対象に、ネットワークモデリングをエッジを統計的単位として再定式化すること。
• 統計的原則を尊重しながら現実世界のネットワーク行動を捉えることができる、交換可能性に基づく原理的で非パラメトリックなフレームワークを構築すること。
• ランダム測度と無限交換可能性を用いた理論的基盤を確立し、頂点交換可能な状況におけるグラフンに類似したモデルクラスを導出すること。
• 理論的および実証的妥当性を通じて、推定、予測、仮説検定の実用的タスクにおける提案モデルの有効性を示すこと。

提案手法

• 相互作用データを、相互作用インデックスと集団要素の有限マルチセットとの対応として定義し、頂点ラベルなしのエッジラベル付き構造としてネットワークをモデル化する。
• エッジ交換可能性を定義し、エッジインデックスの置換に対してエッジの連合分布が不変である対称性の原理を導入することで、スパースで裾が重い次数分布のモデリングを可能にする。
• 無順序な頂点ペアの空間 fin2([0,1]) 上のランダム測度 ν を用いた表現定理を構築し、エッジタイプは ν によって決定され、エッジラベル付きネットワークは測度 ν∞ からの i.i.d. サンプルとして生じる。
• de Finetti の定理を用いて、エッジ交換可能なネットワークがランダム測度 ν を用いた積分表現を有することを示し、交換可能性を保証するとともにベイズ非パラメトリック推論を可能にする。
• ν から得られるエッジタイプ確率 f{i,j} を定義し、f{0,0}（自己ループ）、f{0,i}（頂点 i に接続する辺）、f{−1,0}（異なる無順序ペア）、および f{i,j}（頂点 i と j 間の辺）を含む、単体値のランダムベクトルを形成する。
• 可測変換を用いてエッジラベル付きネットワークを頂点ラベル付き構造に写像し、誘導されるエッジラベル付きネットワークの分布が指定されたエッジタイプ確率と一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計的交換可能性を尊重しながら、スパース性やパワー則に従う次数分布といった実世界のネットワーク特徴を再現できる、ネットワークデータの原理的確率モデルを開発できるか？
• RQ2 頂点ではなくエッジに基づく交換可能性の概念は、複雑なネットワークの非パラメトリックモデルを支持できるか？
• RQ3 エッジ交換可能なモデルを数学的にどのように表現できるか？ これにより推論と統計的分析が可能になるか？
• RQ4 エッジ交換可能性と既存のモデル（例：グラフンやスチュアティックブロックモデル）との理論的関係は何か？
• RQ5 エッジ交換可能なモデルは、実世界のネットワークデータセットにおける推定、予測、仮説検定といった実用的タスクをサポートできるか？

主な発見

• エッジ交換可能なモデルは、スパースでパワー則に従う次数分布を持つネットワークを生成でき、頂点交換可能なモデルの根本的限界を解消する。
• モデルクラスは、fin2([0,1]) 上のランダム測度 ν を用いた de Finetti 型の表現を有し、交換可能性を保証するとともに非パラメトリック推論を可能にする。
• 明確な解釈性を持つ、推論が容易な分布族をサポートする。エッジタイプは ν の可測関数によって決定される。
• 実世界のネットワークの主要な特徴（Enron 電子メールコーパス、俳優共同作業、Wikipedia 投票データなど）を成功裏に再現する。
• 理論的結果により、エッジ交換可能なネットワークがランダム測度からの i.i.d. エッジサンプルとして表現可能であり、エッジラベル付きネットワークの分布が ν から導かれるエッジタイプ確率によって完全に特徴付けられることを確認した。
• 推定やネットワーク構造の予測におけるエッジタイプ分布の推定といった、妥当な統計的推論が可能であり、テストおよび予測タスクにおける有効性が実証された。