[論文レビュー] The Class of Random Graphs Arising from Exchangeable Random Measures

Victor Veitch, Daniel M. Roy|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 37被引用数 72

ひとこと要約

本稿は、交換可能な確率測度に基づく一般化されたランダムグラフのクラスを導入し、密度の高い交換可能なグラフとスパースモデルの両方を一般化するグラフエックス (I, S, W) によって特徴づけられる。Kallenbergの枠組みを用いた表現定理を確立することで、スパースで、重尾的で、スモールワールド構造を示す現実世界のネットワークの取り扱いが可能になる。

ABSTRACT

We introduce a class of random graphs that we argue meets many of the desiderata one would demand of a model to serve as the foundation for a statistical analysis of real-world networks. The class of random graphs is defined by a probabilistic symmetry: invariance of the distribution of each graph to an arbitrary relabelings of its vertices. In particular, following Caron and Fox, we interpret a symmetric simple point process on $\mathbb{R}_+^2$ as the edge set of a random graph, and formalize the probabilistic symmetry as joint exchangeability of the point process. We give a representation theorem for the class of random graphs satisfying this symmetry via a straightforward specialization of Kallenberg's representation theorem for jointly exchangeable random measures on $\mathbb{R}_+^2$. The distribution of every such random graph is characterized by three (potentially random) components: a nonnegative real $I \in \mathbb{R}_+$, an integrable function $S: \mathbb{R}_+ o \mathbb{R}_+$, and a symmetric measurable function $W: \mathbb{R}_+^2 o [0,1]$ that satisfies several weak integrability conditions. We call the triple $(I,S,W)$ a graphex, in analogy to graphons, which characterize the (dense) exchangeable graphs on $\mathbb{N}$. Indeed, the model we introduce here contains the exchangeable graphs as a special case, as well as the "sparse exchangeable" model of Caron and Fox. We study the structure of these random graphs, and show that they can give rise to interesting structure, including sparse graph sequences. We give explicit equations for expectations of certain graph statistics, as well as the limiting degree distribution. We also show that certain families of graphexes give rise to random graphs that, asymptotically, contain an arbitrarily large fraction of the vertices in a single connected component.

研究の動機と目的

• スパースで、不均一で、べき則的次数分布やスモールワールド性といった複雑な構造を示す現実世界のネットワークを、統計的に妥当な枠組みでモデル化すること。
• 頂点の再ラベル化に対して不変であるという基本的な対称性に裏付けられた、一般的で、取り扱いやすく、柔軟な統計的ネットワーク解析のためのモデルの欠如を是正すること。
• 交換可能な確率測度を用いて、密度の高い交換可能なグラフモデルとスパースモデル（例：Caron-Fox）を統一する理論的枠組みに統合すること。
• Kallenbergの共同交換可能な確率測度の理論を用いて、このようなランダムグラフの表現定理を提供すること。
• 最小限の構成要素であるグラフエックス (I, S, W) を用いてグラフの分布を特徴づけることで、統計的推論を可能にすること。

提案手法

• ℝ₊² 上の対称的で単純な点過程を用いてランダムグラフを定義し、それをエッジ集合として解釈する。この分布は任意の頂点の再ラベル化に対して不変（交換可能性）である。
• Kallenbergの共同交換可能な確率測度の表現定理を適用し、このようなグラフの分布の標準形を導出する。
• クラスに属するすべてのグラフの分布を、非負の定数 I、関数 S:ℝ₊→ℝ₊、および弱可積分性条件を満たす可測な対称関数 W:ℝ₊²→[0,1] からなる三つ組 (I, S, W) で特徴づける。
• このモデルが、グラフオンを用いた密度の高い交換可能なグラフ（dense exchangeable graphs）と、スパースモデル（例：Caron-Fox）を特別な場合として含むことを確立する。
• グラフエックスの構成要素を用いて、エッジ数の期待値と漸近的次数分布の明示的表現を導出する。
• ポアソン分布に従う一様抽出された頂点によって誘導される部分グラフのサンプリングスキームを提案し、KEGs（Kernels for Exchangeable Graphs）が得られることを示唆し、推定とモデル適合のための経験的グラフエックスの概念を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交換可能性（頂点の再ラベル化に対して不変）を満たし、かつ密度の高いネットワーク構造とスパースなネットワーク構造の両方を捉える一般化されたランダムグラフのクラスを定義できるか？
• RQ2 このような交換可能なランダムグラフの完全な確率的表現は何か？ そして、取り扱いやすいパラメータで分布をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 グラフエックスの構成要素 (I, S, W) は、エッジ密度、次数分布、連結性といった構造的性質とどのように関係するか？
• RQ4 どのようなサンプリング機構が有限ネットワークからKEGsを生成するか？ そして、これにより経験的モデル適合と推定にどのように寄与できるか？
• RQ5 この枠組みは、グラフ極限理論（例：L^pグラフオン）や密度の高い交換可能なグラフフレームワークといった既存の理論とどのように関係するか？

主な発見

• 交換可能な確率測度に基づくランダムグラフのクラスは、グラフエックス (I, S, W) を用いた表現を備えており、グラフの分布を完全に特徴づける。
• このモデルは、グラフオンを用いた密度の高い交換可能なグラフと、スパースモデル（例：Caron-Fox）を統一的に扱う一般化された枠組みを提供する。
• グラフエックスに基づくモデルにおけるエッジ数の期待値は、I、S、W を含む明示的な積分表現で与えられ、統計的推論が可能になる。
• 漸近的次数分布は閉形式で導出されており、W の適切な選択によりべき則的次数分布に類似した分布を生成できることを示している。
• 特定のグラフエックスの族は、漸近的に、孤立頂点の割合がゼロに近づき、正の割合の頂点が単一の連結成分に属するようなグラフを生成できる。
• ポアソン分布に従う一様抽出された頂点によって誘導される部分グラフのサンプリングスキームを提案し、KEGsが得られることを示唆しており、経験的グラフエックス推定への道筋を示している。